在之前的文章中，我们讨论了假设和公理，但没有正式展示结果。在这里，我们开始正式演示的概念，为此，我们提出了一些主题开始的基本概念。

概念

数学中第一个非常重要的概念是定义。

**定义：**是描述数学术语含义的陈述。

主张

在之前的文章中，我们定义了这个概念，但现在，我们以更简单的方式呈现它：

**主张：**是陈述句。

  • 如果它很简单，它本身就是有意义的。
  • 如果它在所有逻辑可能性中都为真，则称为重言式。
  • 如果它在所有逻辑可能性中都为真，则称为重言式。
  • 除了上述之外，没有其他可能。

争论

以下定义对于良好的结果构建同样重要。

**争论：**是一个有限序列 $n+1$ 个命题：

  • 一组假设：\mathcal{H} =\{H_1, H_2, \dots, H_n\}
  • 论文：$T$，这是假设的结果。

推测

**推测：**这是一个尚未被证明或反驳的命题。

因此，该猜想是一个到目前为止还没有被证明的命题，然而，它需要被证明才能使一个结果成为定理。

定理

一个很重要的概念是定理，它是一个逻辑命题，也就是说，它是一个重言式.在数学重言式中，最重要的一个结果是那些使用条件和/或双条件连接词的结果。

**定理：**这是一个有证明保证的命题。

展示一个结果基本上就是把一篇论文放在一起。为此，我们使用真值表，并以此证明命题实际上是重言式。

在上一篇文章中，我们看到公理和假设是没有证据的公认事实。

从现在开始，为了证明结果，我们将使用初步结果，例如：

  • **座右铭：**是一个结果，其目的是用来展示更大的结果。
  • **建议：**是一个结果，其目的是用来展示更大的结果。

如前所述，这些重言式用于展示更大的结果，例如定理和推论.

推论

**推论：**是一个可以直接从已证明的定理建立的定理。

更具体地说，当一个定理有助于轻松得出其他陈述时，该结果称为该定理的推论。

逻辑上的蕴涵和双蕴涵

对于重言式概念，到目前为止，我们已经看到，当我们定义 $p$ 和 $q$ 命题以及 $p \rightarrow q$ 重言式时，我们说：

  • $p \rightarrow q$ 是一个含义.
  • $p \Rightarrow q$ 是逻辑含义.

同样，让 $p$ 和 $q$ 命题和 $p \leftrightarrow q$ 是重言式，我们说：

  • $p \leftrightarrow q$ 是双蕴涵.
  • 后者意味着 $p$ 和 $q$ 在逻辑上是等价的。
  • $p \Leftrightarrow q$ 是逻辑双蕴涵.
  • 后者意味着 $p$ 和 $q$ 是等价的。

因此，通过这些概念，我们可以提出以下结果：

逻辑蕴涵定理

**定理：**令 $p、q$ 和 $r$ 是命题。然后：

  • 反光的：$p\rightarrow p$
  • 传递：$(p\rightarrow q) \wedge (q\rightarrow r) \Rightarrow (p\rightarrow r)$
  • 简化：$p \wedge q \rightarrow p$
  • 添加：$p \rightarrow p \vee q $
  • Modus Ponens（在拉丁语中的意思是“肯定的方式”）：$(p \wedge (p \rightarrow q)) \Rightarrow q$
  • Modus Tollens（在拉丁语中的意思是“通过否定否定的方式”）：$(p \rightarrow q)\sim q \Rightarrow \sim p$
  • Reduction ad absurdum（在拉丁语中的意思是“还原为荒谬”）：$(\sim p \rightarrow (q \wedge \sim q)) \Rightarrow p$
  • 对称：$(p \leftrightarrow q) \Rightarrow (q \leftrightarrow p) $
  • 传递：$(p \leftrightarrow q) \wedge (q \leftrightarrow r)\Rightarrow (p \leftrightarrow r) $
  • 析取：$(p \leftrightarrow q) \wedge \sim p \Rightarrow q $

**示范：**只需应用真值表。

逻辑双蕴涵定理

**定理：**令 $p、q$ 和 $r$ 是命题。然后：

  • 反光的：$p\leftarrow p$
  • 双重否定：$\yes (\yes p)\Leftrightarrow p$
  • 连词否定 - 摩根定律：$(p \wedge p)\Leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$
  • 析取否定 - 摩根定律$\sim(p\veep)\LeftRightArrow(\simp\wedge\simq)$
  • 否定条件$\sim(p\rightarrow q)\Leftrightarrow(p\wedge\simq)$
  • 双条件的否定$\sim(p\leftrightarrow q)\Leftrightarrow(p\wedge\sim q)\vee(\sim p\wedge q)$
  • 的交换性$\vee$: $(p\vee q) \Leftrightarrow(q\vee p)$
  • 的交换性$\wedge$: $(p\wedge q)\Leftrightarrow(q\wedgep)$
  • 的关联性$\vee$: $(p\vee q)\vee r \Leftrightarrow p\vee(q\vee r)$
  • 的关联性$\wedge$: $(p\wedge q)\wedge r \Leftrightarrow p\wedge(q\wedge r)$
  • 分配性: $p \vee(q\wedge r) \Leftrightarrow(p\veeq)\wedge(p\veer)$
  • 分配性: $p \wedge(q\vee r) \Leftrightarrow(p\wedge q)\vee(p\wedge r)$
  • 双条件: $ ( p \\ leftrightarrow q ) \\ LeftRightArrow ( p \\ rightarrow q ) \wedge ( q \\ rightarrow p ) $
  • 正计数器$ ( p \\ rightarrow q ) \\ LeftRightArrow ( \\ sim p \\ rightarrow \\ sim q ) $
  • 阳痿$(p\vee p) \Leftrightarrow p$ 和 $(p\wedge p) \Leftrightarrow p$
  • 传递性$(p\LeftRightArrow q)$ 和 $(q\LeftRightArrow r)$ $\LeftRightArrow(p\LeftRightArrow r)$

**示范：**让我们只适用于表格事实。