Euler's 歐拉的眼睛
2022-11-01
集合的运算
在数论或算术中，我们可以使用加法、减法、乘法和除法等运算。在集合论中，运算有并、交、差。其中一些已在上一篇文章中定义。在这篇文章中，我们将讨论集合之间的运算结果。
组间差异
首先，我们来谈谈集合之间的区别。为此，定义如下：
定义（集合之间的差异）： 设 A 和 B 为两个集合，我们表示集合 $A$ 和 $B,$ 之间的差异 由$A \setminus B$或$A−B,$组成的集合是$A$中且不在$B.$中的元素形成的集合。我们象征性地写道：
$$A - B = \\{x; \quad x \in A \wedge x \notin B\\}.$$
如果 $A \subseteq B,$ 集合 $B − A$ 也被称为 A 在 B 中的补集，并且 由$A^c_B$表示。 如果 $A$ 包含在全域集 $U,$ 中，则 $U$ 中的 $A$ 简单地表示为
$$A^c = \\{x;\quad x \notin A \\}.$$集合间运算的性质
定理 1。 设 A、B 和 C 为集合。然后：
- (a) 协会：
- $A \cup(B \cup C) = (A \cup B)\cup C$
- $A \cap(B \cap C) = (A \cap B)\cap C.$
- (b) 交换性：
- $A \cup B = B \cup A$
- $A \cap B = B \cap A.$
- (c) 分配率：
- $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).$
- (d) 幂等性：
- $A \cup A = A$
- $A \cap A = A.$
- (e) 差异：
- $A − B \subseteq A$
- $(A − B) \cap B = \emptyset.$
- (f) 差异 1：
- $A − B = \emptyset \quad \Leftrightarrow \quad A \subseteq B$
- $A − (A − B) = B \quad \Leftrightarrow \quad B \subseteq A .$
如果$A$和$B$是同一宇宙集合U的子集，则：
- (g) 摩根定律
- $(A \cup B)^c= A^c \cap B^c$
- $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c.$
- (h) 附加：
- $(A^c)^c = A$
- $A \cap A^c = \emptyset.$
- (i) $A \subseteq B$ 当且仅当 $B^c \subseteq A^c.$
演示： 练习
电源或一组部件
在幂或集合的部分中，我们需要以下公理：
**幂公理：**对于每个集合，都有一个集合，该集合满足以下条件： 在其元素中包含给定集合的所有子集。
这样，我们将其定义为：
定义 2（零件或功率的集合）。 令 A 为集合。 $A$ 的幂集或 由$\mathcal{P}(A),$表示的$A,$的部分是其元素是$A.$的子集的集合象征性地，我们有$\mathcal{P}(A) = \\{B; B \subseteq A \\}.$
当事人共同的例子
对于 $A = \\{a, b, c \\},$ 我们有
$$\mathcal{P}(A) = \\{\emptyset, \\{a\\}, \\{b\\}, \\{c\\}, \\{a, b \\}, \\{a, c \\}, \\{b, c \\}, A \\}.$$
权力主张
设 A 和 B 为集合。然后：
- (a) $\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B).$
- (b) $\mathcal{P}(A \cup B) \supseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B).$
演示：
(a) 我们有以下等价物：
根据定义我们有：
$$X \in \mathcal{P}(A \cap B) \quad \Longleftrightarrow \quad X \subseteq A \cap B$$由定理1：
$$X \subseteq A \cap B \quad \Longleftrightarrow \quad X \subseteq A \wedge X \subseteq B$$根据定义我们有：
$$X \subseteq A \wedge X \subseteq B \quad \Longleftrightarrow \quad X \in \mathcal{P}(A) \wedge X \in \mathcal{P}(B)$$根据交集 $\cap$ 的定义，我们有：
$$X \in \mathcal{P}(A) \wedge X \in \mathcal{P}(B) \quad \Longleftrightarrow \quad X \in \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$$它演示了 (a) 项。
(b) 项的证明仍作为练习。
$\square$
请注意，包含 $\mathcal{P}(A ∪ B) \subseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$ 并不正确。下面的反例证明了这一事实。
事实上，对于 $A = \\{1\\}$ 和 $B = \\{2\\},$ 我们有
$$\mathcal{P}(A \cup B) = \mathcal{P}(\\{1, 2\\}) = \\{\emptyset, \\{1\\}, \\{2\\}, \\{1, 2\\}\\}$$e
$$\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) = \\{\emptyset, \\{1\\}\\} \cup \\{\emptyset, \\{2\\}\\} = \\{\emptyset, \\{1\\}, \\{2\\}\\}.$$联合公理
为了定义有限数量的集合的并集，我们可以使用规范公理。对于任何集合的集合，它不再是 可以使用该公理构造并集和交集。
**并集公理：**对于集合的每个集合，都有一个集合，其中包含属于给定集合的某个集合的所有元素。
换句话说，这个公理保证对于集合 $\mathcal{C},$ 的每个集合，都有一个集合 $U$，这样，如果 $x \in A$ 对于 $\mathcal{C},$ 中的某些 $A$，则 $x \in U.$ 因此我们可以定义：
定义（集合并集） 令 $\mathcal{C}$ 为集合的集合。 $\mathcal{C}$ 中集合的并集或 $\mathcal{C}$ 中元素的并集，表示为：
$$\bigcup_{A\in \mathcal{C} } A$$或者
$$\bigcup \mathcal{C}$$由属于至少一组集合的所有元素组成。 然而
$$\bigcup_{A\in \mathcal{C} } A = \\{x \in A;\quad A \in \mathcal{C}\\}.$$
请注意，在这个定义中，我们使用并集公理和规范公理 以确保存在
$$ \bigcup_{A\in \mathcal{C} } A$$唯一性由可拓公理保证。 我们也可以写
$$\bigcup_{A\in \mathcal{C} } A = \\{x; \exists A \in \mathcal{C}~ \text{ tal que } x \in A \\}$$交集公理
对于集合中集合的交集，我们有：
定义（交集公理）。设 $\mathcal{C}$ 为集合的集合，我们称集合的交集 在 $\mathcal{C}$ 或 $\mathcal{C},$ 的元素的交集中表示为 $\bigcap_{A \in \mathcal{C} } A$或$\bigcap \mathcal{C}$，它们是属于集合中所有集合的所有元素。
$$\bigcap_{A \in \mathcal{C} } A = \\{x; ~ x \in A \text{ para todo } A \in \mathcal{C} \\}. $$我们也可以写
$$\bigcap \mathcal{C} = \\{x; (A \in \mathcal{C} \rightarrow x \in A) \\}.$$
这是集合运算的总结。等待接下来的帖子。