集合论有两个研究方向：公理化理论和朴素理论。公理化派依赖于对集合作为对象集合的非正式理解。朴素的方法在 19 世纪末得到了很好的发展，它将集合视为具有命题、引理、定理和推论的可证明的形式。集合论在数学中非常重要，特别是对于现代理论，例如：

  • 数字
  • 关系
  • 功能

规范公理

公理是数学的基础。然而，当我们假设集合上的任何操作都可能导致诸如罗素悖论之类的悖论时。公理理论是确定集合允许哪些运算的基础。

规范公理表示，如果存在一个集合 $A$，并且我们可以通过属性描述该集合的元素，则存在一个集合 $B$，它是包含这些元素的 $A,$ 的子集。

**规范公理：**设 $A$ 为集合，$p(x)$ 为 $x$ 中的命题，并且必须用量词和变量表示为：

  • 量词： $\wedge, \vee$ 等
  • 变量： $x, y, A, B, dots$

然后有一个集合生成 $A$ 的所有元素 $x$ 的一致性，使 $p(x)$ 为真。更具体地说

$$\\{x \in A; ~p(x) ~\text{é verdadeira}\\}$$

这个公理对于避免语义悖论非常重要，例如理查德悖论。理查德悖论中描述的集合不能从规范公理构造，因为公理的属性仅限于逻辑运算符和一些量词。

罗素悖论

这个公理的另一个更有趣的应用是它保证 不存在包含所有集合的集合。 。由此，我们得出B/εU的结论，即不存在 一个宇宙集合。得出这个结论的论证称为悖论 通过拉塞尔，

欧几里得的作品。

罗素悖论对于理解集合论的某些性质非常重要。由此我们可以应用规约公理并证明不存在包含所有集合的集合。注意拉塞尔的论点。

**罗素悖论：**在某个城市，有一个理发师，他只给不给自己刮胡子的男人刮胡子。谁给理发师刮胡子？

我们对此如何回应？

假设有一个集合，其元素都是集合，即宇宙集合。

令 $U$ 为宇宙集。

因此，根据规范公理，我们可以构造该集合：

$$B = \\{x \in U; x\notin x\\}$$

目的是检查 if$B\in U.$ 这样，我们有两种可能性：

  • $B\in B$ 或
  • $B\notin B$
  1. 如果$B\in B$，通过指定$B,$我们有$B\notin B$
  2. 如果 $B\notin B$，则 $B\in B$

因此，我们之间存在着矛盾。

集合的构建

从目前来看，规约公理对于集合论非常重要，因为我们可以根据它构造几个重要的集合，例如：

  • 空的
  • 统一
  • 路口
欧几里得的作品。

空集

**定义：**集合被称为空集合，用$\emptyset$表示，即没有任何元素的集合，其中该集合的存在由规范公理保证。

事实上，给定任何集合 $A,$ 我们有

$$\emptyset = \\{x \in A; x \neq x\\}.$$
欧几里得的作品。

命题 对于每组 $A,$，我们有 $\emptyset \subseteq A.$

演示：

我们已经知道 $\emptyset \subseteq A$ 或 $\emptyset \cancel{\subseteq} A.$，并且这些可能性是互斥的。

所以，我们只需要证明不可能有 $\emptyset \cancel{\subseteq} A.$

要出现 $\emptyset \cancel{\subseteq} A$，必须存在一个元素 $x$，使得 $x \in \emptyset$ 和 $x \notin A.$。但由于 $\meptyset$ 没有元素，因此这样的 $x$ 不可能存在。

因此，可能性$\emptyset \cancel{\subseteq} A$不会发生，只存在可能性$\emptyset \subseteq A$，这一定是真的。

$\square$

统一

**定义：**令$A$和$B$为任意两个集合，我们定义由$A\cup B,$表示的$A$和$B,$的并集，即由元素$x$形成的集合，使得$x$在两个集合$A$或$B.$之一中更具体地，

$$A \cup B = \\{x; ~x \in A \vee x \in B\\}$$
欧几里得的作品。

路口

**定义：**设$A$和$B$为任意两个集合，由$A\cap B,$表示的$A$和$B,$的交集是由元素$x$形成的集合，使得$x$同时在集合$A$和$B.$中

$$A \cap B = \\{x; ~ x \in A \wedge x \in B\\}$$
欧几里得的作品。

重要成果

我，欧拉，作为一名数学家，需要保证集合$A\cap B$和$A\cup B$的存在，并且这些集合由规范公理保证。从定义中，我们得出以下逻辑等价物：

$$x \in A \cup B \quad \Leftrightarrow \quad (x \in A \vee x \in B)$$$$x \in A \cap B \quad \Leftrightarrow \quad (x \in A \wedge x \in B)$$

下面我们介绍一些重要的结果。

定理1设$A$和$B$为任意集合。然后：

  • a) $A \subseteq A \cup B \text{ e } B \subseteq A \cup B$
  • b) $A \cap B \subseteq A \text{ e } A \cap B \subseteq B$
  • c) $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B \text{ e } A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A$
  • d) $A \cup (B \cap A) = A \text{ e } A \cap (B \cup A) = A.$

演示：

(a) 根据定义，此项相当于表明

$$x \in A \Rightarrow x \in A \cup B$$

事实上，这个结果相当于

$$x \in A \rightarrow (x \in A) \vee (x \in B)$$

这句话是同义反复，因为它暗示了类型

$$p \rightarrow p \vee q$$

(b) 的构造方式类似，只是改变了几点。这是一个练习😂😂😂

(c) 在这个项目中，我只会显示 $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B$ 另一个是作为练习😂😂😂

请注意，同义反复 $(p \Leftrightarrow q) \quad \Leftrightarrow \quad (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p),$ 是有效的

在显示结果之前，值得记住的是，$\Leftrightarrow$ 是一个当且仅当，您必须在其中显示往返行程，即：

  • 出发：$\Rightarrow$
  • 返回：$\Leftarrow$

转到 $(\Rightarrow)$ $A \subseteq B,$ 然后 $A \cup B = B$

请注意，对于集合相等，我们必须证明 $A \cup B \subseteq B$ 和 $B \subseteq A \cup B.$

第二个包含项来自 (a)。

对于第一个，让 $x \in A \cup B,$ 然后 $x \in A \wedge x \in B.$

如果 $x \in A,$ 假设我们有 $A \subseteq B,$ 这样 $x \in B.$

所以在这两种情况下都是 $x \in B,$，正如我们想要的那样。

Volta $(\Leftarrow)$ 如果 $A \cup B = B,$ 那么，我们有：

作为 $A \subseteq A \cup B = B,$，我们显然有 $A \subseteq B.$

(d) 练习😂😂😂

$\square$

**不相交集合：**如果两个集合 $A$ 和 $B$ 没有共同元素，即 $A \cap B = \emptyset.$，则它们是不相交的

**定理2：**设$X, A$和$B$为集合。所以我们有：

  • (a) $\emptyset \subseteq A,\quad A \cup \emptyset = A$ e $A \cap \emptyset = \emptyset$
  • (b)
    • $X \subseteq A \cup B \quad \Leftrightarrow \quad X \subseteq A \vee X \subseteq B$ e
    • $X \subseteq A \cap B \quad \Leftrightarrow \quad X \subseteq A \wedge X \subseteq B.$

(a) 对于此项目，我们将显示 $\emptyset \subseteq A.$

根据定义，我们必须证明 $x \in \emptyset \Rightarrow x \in A.$

由于命题 $p : x \in \emptyset$ 始终为假，因此对于任何命题 $q,$，$p \Rightarrow q$ 为真，它表明 包容性。

(b) 在本项中，我们展示了等价项 $X ⊆ A ∩ B ⇐⇒ X ⊆ A ∧ X ⊆ B,$，另一个是作为练习 😂😂😂。

（艾达）

  • 假设：$X \subseteq A \cap B$
  • 论文 $X \subseteq A \wedge X \subseteq B.$

让$x ∈ X,$根据假设$X \subseteq A \cap B,$我们有$x \in A \cap B$，并且根据交集的定义，我们有$x \in A \wedge x \in B.$

因此$X \subseteq A \wedge X \subseteq B.$

（返回）

  • 假设：$X \subseteq A \wedge X \subseteq B$
  • 论文 $X \subseteq A \cap B.$

假设 $x ∈ X,$ 为 $x \in A \wedge x \in B$，根据交集的定义，我们有 $x \in A \cap B.$

因此$X \subseteq A \cap B$

$\square$

这是集合介绍的总结。等待接下来的帖子。