在集合论中，使用族或集合索引集合的概念非常重要。例如，在随机过程理论中，这个概念被广泛使用，主要用于西格玛代数中的过滤理论。

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索引集合

定义（集合的索引族） 设 $\Gamma$ 是一个集合，我们假设每个元素 $\gamma \in \Gamma$ 都有一个集合 $A_{\gamma}.$ 关联。此类集合 $A_{\gamma}$ 的集合被称为集合的索引族，由集合 $\Gamma$ 索引并表示为

$$\\{A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma \\}$$
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如果 $\mathcal{C} = \\{ A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma \\},$ 我们写

$$\bigcup \mathcal{C} = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \\{x; x \in A_{\gamma} \text{ para algum } \gamma \in \Gamma \\}$$

e

$$\bigcap \mathcal{C} =\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \\{x; x \in A_{\gamma} \text{ para todo } \gamma \in \Gamma \\}.$$

请注意，给定任何集合集合，始终可以采用索引集合 $\Gamma$ 并使该集合成为集合的索引族，由 $\Gamma$ 索引。

有限索引集

在有限索引集中，例如 $\Gamma = \\{1,2,3,\dots, n\\}$，我们有：

  • 集合的并集： $$\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcup^n_{i=1} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$$
  • 集合的交集： $$\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcap^n_{i=1} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n$$
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可枚举索引集

如果集合是可枚举的，例如，$\Gamma = \mathbb{N}$，我们必须

  • 集合的并集： $$\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcup^\infty_{i=1} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \dots$$
  • 集合的交集： $$\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcap^\infty_{i=1} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots $$

空子集族的结果

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**定理：**设 $\\{A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma\\}$ 为集合 $U,$ 的子集的空族，即 $\Gamma = \emptyset.$ 那么

  • (a) $\displaystyle\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \emptyset.$
  • (b) $\displaystyle\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = U.$

演示：

(a) 请注意，显示 $\displaystyle\bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} = \emptyset$ 相当于显示所有 $x \in U,$ 我们有 $x \notin \displaystyle\bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma}.$

对于 $x ∈ U,$，我们用符号表示：

$$x \notin \bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} \Longleftrightarrow \sim \left(x \in \bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} \right) $$

根据联合的定义，我们有：

$$\sim\left(x \in \bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} \right) \Longleftrightarrow \sim\left(x \in A_{\gamma}, \text{ para algum } \gamma \in \emptyset \right)$$

现在让我们应用否定：

$$\sim\left(x \in A_{\gamma}, \text{ para algum } \gamma \in \emptyset \right) \Longleftrightarrow x \notin A_{\gamma}, \text{ para todo } \gamma \in \emptyset $$

因此，$\gamma \in \emptyset$ 意味着：

$$ x \notin A_{\gamma}$$

最后一个命题对于所有 $x \in U,$ 都成立，因为 $γ \in \emptyset$ 是一个矛盾。 这就完成了(a)部分的证明。

(b) 在本项中，我们必须证明对于所有 $x \in U,$，我们有

$$x \in \bigcap_{γ\in \emptyset} A_\gamma.$$

请注意，根据定义

$$x \in \bigcap_{\gamma\in \emptyset} A_{\gamma} \Longleftrightarrow \\{x \in A_{\gamma}, \text{ para todo } \gamma \in \emptyset\\} $$

等价于命题 $γ \in \emptyset$ 意味着 $x \in A_{\gamma},$，正如在项目 (a) 的证明中所见，对于 全部 $x \in U.$

$\square$

广义摩根定律

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定理（广义摩根定律） 设 $\\{A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma\\}$ 为集合 $U.$ 的任意子集族，则

  • (a) $\displaystyle\left(\bigcup_{\gamma\in \Gamma} A_\gamma\right)^c = \bigcap_{γ\in \Gamma} A^c_\gamma$
  • (b) $\displaystyle\left(\bigcap_{\gamma\in \Gamma} A_\gamma\right)^c = \bigcup_{γ\in \Gamma} A^c_\gamma$

演示：

a) 对于所有$x \in U,$，根据互补的定义，我们有

$$x \in \left(\bigcup_{γ\in \Gamma} A_\gamma\right)^c \Longleftrightarrow \sim \left(x \in \bigcup_{γ\in \Gamma} A_\gamma\right)$$

根据并集的定义，我们有：

$$\sim \left(x \in \bigcup_{γ\in \Gamma} A_\gamma\right) \Longleftrightarrow \sim (\text{existe } \gamma \in \Gamma \text{ tal que } x \in A_{\gamma})$$

通过否定最后一句话，我们得出对于所有 $\gamma \in \Gamma$，我们有 $x \notin A_{\gamma}$。

下一步是应用互补的定义，我们得到 $\gamma \in \Gamma$，我们必须 $x \in A^c_{\gamma}$。

根据交集的定义

$$x \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma} A^c_{\gamma}$$

因此，根据集合相等的定义，我们得到了(a)项的相等。

(b) 项中平等的证明仍然是一项练习。 :喜悦::喜悦::喜悦:

$\square$

广义分配律

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定理（广义分配律） 设 $A$ 为集合，$\mathcal{C} = \\{B_{\gamma}; \gamma \in \Gamma\\}$ 为子集族。然后

  • (a) $\displaystyle A \cap \left(\bigcup_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma\right) = \bigcup_{\gamma\in \Gamma} A \cap B_\gamma$
  • (b) $\displaystyle A \cup \left(\bigcap_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma\right) = \bigcap_{\gamma\in \Gamma} A \cup B_\gamma$

演示：

(a) 当且仅当根据交集的定义 $x \in A$ 和 $x \in \bigcup_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma$ 时，元素 $x$ 位于集合 $\displaystyle A \cap \left(\bigcup_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma\right)$ 中。

现在，从任何集合族的并集的定义，我们知道这个命题对于某些 $γ \in \Gamma,$ 等价于 $x \in A$ 和 $x \in B_\gamma,$，对于某些 $γ \in \Gamma.$ 可以表示为 $x \in A \cap B_\gamma,$

根据工会的定义

$$x \in \bigcup_{\gamma\in \Gamma} A \cap B_\gamma,$$

由集合相等的定义可知 (a)。

(b) 项中平等的证明仍然是一项练习。 :喜悦::喜悦::喜悦:

$\square$

这是设定的家庭概要。等待接下来的帖子。