官方材料： 完整证明 · OBMEP解决方案 · 年度精选。

以下分辨率遵循官方笔记本的编号。打开测试，遵循陈述、替代方案和图表；这里的解释是版权。在检查答案之前尝试每个问题。

问题 1 — 卡片和倍数

a) 一种可能性是 $6,2,4,8,1,9,3$。检查这些对，我们可以将它们整除：6被2，4被2，8被4，8被1，9被1和9被3整除。

b) 有八张牌：$9,3,6,2,4,8,1,5$。没有数字重复，并且每个相邻对都满足规则。

c) 使用 $5,1,7$ 或其相反顺序。在可用的卡中，只有1可以与5相邻，只有1可以与7相邻。

d) 如果我们使用九张卡，5和7必须位于末端，都连接到1。但这将形成整个部分 $5,1,7$，而无法附加另一张卡：1 已经有它的两个邻居。因此，九没有先后顺序。

问题 2 — 着色规则

使用这两个规则：添加 5 保留颜色；白色产品必须至少具有一种白色因子。

a) $38-3=35$ 是 5 的倍数。从 5 到 5 返回七次，我们得出结论：3 是白色。

b) 如果$4=2\cdot2$是白色，则因子2之一必须是白色；因为它们是相同的，2 是白色的。

c) 如果 1 是白色，则根据第一条规则，16 也是白色。作为$16=4^2$，4是白色，与b项相同。

d) 让我们展示这两个含义。如果 3 为白色，则 8 也为白色。在$8=2\cdot4$中，要么2直接为白色，要么4为白色并且项目b强制2为白色。相反，如果2是白色，则12也是白色。在$12=3\cdot4$中，3为白色，或者4为白色。在最后一种情况下，9 为白色，因为它与 4 的区别为 5，而 $9=3^2$ 使 3 为白色。因此，当且仅当 3 为白色时，2 为白色；否则，两者都是黑色的。

问题 3 — 最近的天线

将道路视为水平轴。到天线的距离的平方为 $d_C^2=(x-2)^2+1$ 和 $d_D^2=(x-5)^2+4$。

a) 在$x=3$中，这些值为2和8。该函数选择最小的：$f(3)=2$。

b) 要均衡距离，请均衡它们的平方：$(x-2)^2+1=(x-5)^2+4$。取消 $x^2$，我们得到 $6x=24$，因此 $x=4$。

c) 差异 $d_C^2-d_D^2=6x-24$ 改变了 4 中的符号。标识

$$f(x)=\begin{cases}(x-2)^2+1,&0\le x\le4,\\(x-5)^2+4,&4要绘制，请标记 $(0,5),(2,1),(4,5),(5,4),(6,5)$ 并通过各自的抛物线弧将它们连接起来。两个分支在 $(4,5)$ 相遇。

问题 4 — 电梯选择

让我们采用地面以上四层的目的地，独立且等概率。三人可以选择$4^3=64$模式。

a) 对于单个公共目标，有四种选择：$4/64=1/16$。

b) 计算一楼没有停靠的情况比较简单：每个人有 3 个可能的目的地，总共 27 种情况。所以在那里停下来的机会是**$1-27/64=37/64$**。

c) 三个连续的停靠点是 $\{1,2,3\}$ 或 $\{2,3,4\}$。每组中，三人可以在$3!=6$订单中选择不同的目的地。机会是**$2\cdot6/64=3/16$**。

官方指南也同意将底层视为目的地。在这个解释中有$5^3=125$个选择；响应分别变为 $1/25$、$61/125$ 和 $18/125$。有必要声明正在使用哪个样本空间。

问题 5 — 圆柱体上的三角形贴纸

将侧面打开成宽12cm、高15cm的矩形。每转一圈，贴纸就会在其水平底座上前进 12 厘米。

a) 对于底座 10，没有完全转弯或重叠。曲面尺寸为 $12\cdot15=180$，三角形尺寸为 $10\cdot15/2=75$。发现的区域是**$105\text{ cm}^2$**。

b) 对于底座 60，贴纸的高度每转一圈就会减少 $15\cdot12/60=3$ 厘米。第一轮已经涵盖了将要涵盖的所有内容；其余部分重叠在其下方。剩下的是一个底边为 12、高为 3、面积为 $18\text{ cm}^2$ 的三角形。

c) 对于底座 90，每转高度减少为 $15\cdot12/90=2$ 厘米。二层、三层和四层之间的边界是平行的。恰好三层的条带是一个具有水平底 12 和垂直高 2 的平行四边形。其面积为**$24\text{ cm}^2$**。

问题 6 — 主板和奇偶校验

用0代表白色，用1代表黑色。要求是每个子板$3\times3$都有一个奇数和。

a) 对于最后一行中的房屋 K、L、M 和 N，四种可能性是 BBPP、BPBP、PBBB 和 PPPB。自由选择K和L，通过左块的奇偶校验来固定M，通过右块的奇偶校验来固定N。

b) 在 $3\times4$ 板上，选择前两行中的八个方格和第三行中的前两个方格。其余两个是强制的，每个条件 $3\times3$ 一个。有**$2^{10}=1024$**幅画。

c) 在$4\times4$中，选择前两行和其他行的前两列：它们是$8+4=12$二进制选择。从左到右完成每一行，强制以新房子结束的街区的奇偶性。总计为 $2^{12}=4096$。

d) 在 $2023\times2023$ 中，相同的过程使 $2\cdot2023+2\cdot2021=8088$ 空间空闲。每个剩余的方块由其右下角的块 $3\times3$ 确定。没有任何条件不适用，也没有框被确定两次。因此总数为**$2^{8088}$**。

返回年份 2023·【图书索引】(https://www.eulereyes.com/cn/posts/obmep/).