二进制算术：用 0 和 1 表示数

我们为什么逢十进一？大概是因为我们有十根手指。数字 10 并没有什么特别之处：任何数都可以用任何进制来写。莱布尼茨把这个想法推向极致，问道：最少需要几个数字，才能写出所有的数？

答案是两个：0 和 1。

每一位的值翻倍

在十进制中，各位的值是 1、10、100、1000……，每个数字表示那个值用了多少次。在二进制中，各位的值是 1、2、4、8、16、32……，每个数字只能表示是（1）或否（0）。

$$10110_2=1\cdot16+0\cdot8+1\cdot4+1\cdot2+0\cdot1=22.$$

下标 $_2$ 提醒我们这个数是用二进制写的。用八位，也就是八个比特，各位的值从 1 到 128，能写出的最大数是

$$11111111_2=128+64+32+16+8+4+2+1=255.$$

算上零，共有 $2^8=256$ 个不同的数。这就是为什么计算机里有那么多东西的范围是 0 到 255。

打开或关闭八个比特 128 64 32 16 8 4 2 1

打开各位的权值，观察二进制写法和十进制和。左边补零可以保持八位长度，而不改变数值。

要把 13 写成二进制，就反复除以 2 并记下余数：

把余数从下往上读：$13=1101_2$。验证：$8+4+0+1=13$。

加法比十进制还简单，因为只有四种情况：$0+0=0$，$0+1=1$，$1+0=1$，$1+1=10_2$，即“写 0 进 1”。例如

$$101_2+11_2=1000_2,\qquad\text{即}\qquad5+3=8.$$

整张乘法表只占一行：$0\times0=0$，$0\times1=0$，$1\times1=1$。莱布尼茨为此着迷：乘法只不过是复制和移位。

加倍的想法比莱布尼茨古老得多。在大约公元前 1550 年由抄写员阿赫摩斯抄录的莱因德纸草书中，埃及人只用加倍和相加来做乘法。要计算 $21\times37$，先列一张表，从 $1$ 和 $37$ 开始，每一行把两列都加倍：

在左列中选出加起来等于 21 的行：$16+4+1=21$。把右列中对应的行相加，$592+148+37=777$。所以 $21\times37=777$。

为什么行得通？选出这些行，就是把 21 写成二进制：$21=10101_2=16+4+1$。于是

$$21\times37=(16+4+1)\times37=592+148+37.$$

每个正整数都能以唯一的方式写成不同的 2 的幂之和，所以这个方法永远不会失败。埃及人在莱布尼茨之前三千年就在不知不觉中用二进制计算了。它的一个变体是把一个因数不断减半、另一个不断加倍，在欧洲被称为俄罗斯农夫乘法，与今天的处理器所做的事情很相似。

莱布尼茨在 1679 年的手稿中研究了二进制，但迟迟没有发表。对他来说，二进制还有宗教含义：所有的数都由 1 和 0 产生，正如在他看来，世界是上帝从虚无中创造出来的。

莱布尼茨与住在中国的耶稣会传教士白晋（Joachim Bouvet）通信。1701 年，白晋寄给他《易经》的 64 个卦。《易经》是一部大约有三千年历史的中国占卜典籍，每卦由六爻组成，爻分阳爻（连线）和阴爻（断线）。

莱布尼茨一眼就看出：把断线换成 0、连线换成 1，再按照传统上归于伏羲的排列顺序，这些卦正是用二进制写出的 0 到 63。他深为着迷，并把这一发现写进了他最终于 1703 年在巴黎科学院院刊上发表的论文《二进制算术阐释》。

两百多年里，二进制一直只是一种奇趣。1937 年，美国工程师克劳德·香农证明，用开关（开或关）组成的电路可以进行二进制运算，局面从此改变。今天，每台电脑、手机和计算器都把数字和文字存储为长长的 0 和 1 序列。

莱布尼茨没有发明计算机，也不是唯一想到用两个符号计数的人。但他系统地整理了二进制算术，展示了如何用它计算，并主张它揭示了数的某种深刻本质。

练习：把 19 写成二进制

$19=16+2+1$，所以 $19=10011_2$。用八位表示：$00010011_2$。

练习：111111₂ 等于多少？它和 2⁶ 有什么关系？

$32+16+8+4+2+1=63=2^6-1$。一般地，连续 $n$ 个 1 等于 $2^n-1$，正如十进制中 $999=10^3-1$。

资料来源： 莱布尼茨与二进制算术，美国数学协会 · MacTutor 传记。