关系的概念是实数函数概念的起点。此外，还有有序对、笛卡尔积和笛卡尔平面本身的概念。对这一概念做出贡献的主要数学家之一是朱利叶斯·威廉·理查·戴德金。

欧几里得的作品。

向戴德金致敬

今天我们的获奖者是朱利叶斯·威廉·里查·戴德金。他是来自德国布伦瑞克的一个路德教家庭的四个孩子之一。

欧几里得的作品。

19 岁时，他在哥廷根攻读博士学位，并于 22 完成了博士学位。作为狄利克雷的学生，他在不伦瑞克教授中学教育，直到生命的最后几年。他非常关心函数和数字的本质。就这样，他从1858教微积分时起，就一直专注于无理数问题。

订购对

**定义：**有序对是由坐标对$(x,y)$分别与坐标$x$和$y$形成的两个数字。

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦。

从集合相等的概念来看，我们观察到颠倒元素的顺序不会产生新的对：

  • $\\{1,2\\} = \\{2, 1\\},$
  • $\\{3, -1\\} = \\{-1, 3\\}$
  • $\\{a, b\\} = \\{b, a\\}.$

在数学中，有些情况需要区分两个 按元素顺序配对。

例如，在方程组中：

$$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \\ \end{cases} $$

在这种情况下，$x = 2$和$y = 1$是该方程组的解。然而，对于 $x = 1$ 和 $y = 2$ 这不是一个解决方案。

在集合中，解决方案是：

  • $\\{2, l\\}$ 将是一个解决方案
  • $\\{1, 2\\}$ 不是一个解决方案。

这是矛盾的，因为$\\{2, 1\\} = \\{1, 2\\}$，同一个集合既不是解，又不是解。

因此，我们说解是有序对 $(2, 1)$，其中可以理解：

  • 第一个元素 $2$ 指的是未知的 $x$，
  • 第二个元素 $1$ 指的是未知数 $y$

根据有序对的概念我们有：

$$(a,b)=(c,d) \quad \text{se, e somente se}\quad a=c \quad \text{ e } \quad b=d$$

笛卡尔平面坐标

定义：横坐标是水平数轴，我们称之为$x$轴的坐标。

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦。

定义：纵坐标是垂直数轴，我们称之为轴坐标$y$。

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦。

象限

定义有序对后，下一步是对这些对进行分类。在逆时针方向上，我们可以对这些称为象限的对进行分类。这样，我们就有了象限：

欧几里得的作品。

1。 第一象限： 有序对 $(x,y)$ 均为正 2。 **第二象限：**有序对 $(-x,y)$ 负横坐标 > 和正纵坐标 3。 第三象限： 有序对 $(-x,-y)$ 均为负 4。 **第四象限：**有序对$(x,-y)$正横坐标和负纵坐标

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦。

笛卡尔积

为了探索笛卡尔积的概念，让我们考虑集合

  • $A = \\{2, 3, 4\\}$
  • $B = \\{2, 3, 4, 5, 6\\}$

$A$ 与 $B$ 的笛卡尔积是集合

$$A \times B = \\{(x, y); x\in A \text{ e } y \in B \\}$$
  • $A\times B$：$A$ 与 $B$ 的笛卡尔积
  • $(x,y)$：有序对，坐标：
    • $x$ 坐标称为横坐标
    • $y$ 称为有序坐标
  • 这样：
    • $x \in A$：$x$属于$A$
    • $y \in B$：$y$属于$B$

接下来我们用箭头图来展示。

欧几里得的作品。

由图中表示的$3 ~·~ 5 = 15$元素组成。 $A \times B$ 的有序对 $(x, y)$ 的集合使得 $x | y$，其中 $x$ 是 $y$ 的除数。

二元关系

上一节中的笛卡尔平面，其中由除数 $x | y$ 给出。这样，$A$和$B$的元素之间的关系为：

$$ \begin{aligned} \mathcal{R} &= \{(x,y)\in A \times B; ~~ x|y\}\\ &= \{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)\} \end{aligned} $$

集合$\mathcal{R}$包含在$A \times B$中，并由对$(x, y)$形成，其中$A$的元素$x$与$B$的元素$y$通过某种“关系”或“对应”标准“关联”。

为了直观地表示二元关系，我们将使用箭头图。

欧几里得的作品。

定义（二元关系）：设集合为$A$和$B$，$A$在$B$中的二元关系是$A \times B$的所有子集$\mathcal{R}$

$\mathcal{R}$是$A$中$B$ $\iff \mathcal{R} \subseteq A\times B$中的二元关系

注意： 请注意，除数的二进制比率 $x|y$ 是笛卡尔积 $A\times B$ 的子集。

在$(x,y)$对属于关系$\mathcal{R}$的情况下，我们写为$x \mathcal{R} y$。

$$(x,y) \in \mathcal{R} \quad \iff \quad x \mathcal{R} y$$

这些是关系的概念。等待接下来的帖子。