Euler's Eyes
2022-11-22
功能概念
对应律是函数主体的现代定义。此外，定义域和图像的概念也很重要，这在函数介绍文章中已经在 René Descartes 的愿景下进行了解释。
向伯努利家族致敬
数学史上没有一个家族像伯努利家族一样产生了如此多的著名数学家。这个家庭最初来自西属尼德兰，为逃离战争而于 1583 移民到瑞士巴塞尔。家族中约有十几名成员在数学和物理方面享有盛誉，其中四人被选为成员 法国科学院的外国人。
第一个擅长数学的伯努利是雅克和让，分别是尼古拉斯的第五个和第十个孩子。这与下图：
雅克经常出差去会见来自其他国家的科学家。他因对无穷小的研究、在《Acta Eruditorum》（学者笔记）杂志上发表的有关函数最大值和最小值的文章以及对无穷级数的研究而闻名 其中出现了著名的“伯努利不等式”结果。
雅克对曲线非常着迷，他研究了其中的几种曲线：半三次抛物线、双纽线、悬链线、等时线和对数螺旋线等。
让和雅克兄弟与莱布尼茨保持着密切的通信，因为他们都在同一本杂志《Acta Eruditorum》（学者笔记）上发表文章。雅克还是经典著作《猜想的艺术》的作者，该书被认为是最古老的概率著作。 Jean 是 Nicolas、Daniel 和 Jean 11 的父亲。
尼古拉斯是圣彼得堡的数学教授，丹尼尔和让二世是巴塞尔的教授。另一个伯努利。尼古拉二世是这三人的表弟，曾在帕多瓦占据伽利略的位置一段时间。
在年轻一代中，丹尼尔在流体力学和概率论方面的成果最为突出。 18 世纪，还有其他伯努利在数学方面取得了证据，名副其实。
动机
例如，让我们考虑一下集合
$$A = \\{0, 1, 2, 3\\} \text{ e } B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$$以及从 A 到 B 的以下二元关系：
二进制比率 1
设二元关系为：
$$\mathcal{R}_1 = \\{(x, y) \in A \times B \text{ tal que } y=x+1\\}$$通过 $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ 和 $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$，我们有解决方案：
$$R_1 = \\{(0,1), (1,2), (2,3)\\}$$
对于除 3 之外的每个元素 $x \in A,$，只有一个元素 $y \in B$使得$(x, y) \in \mathcal{R}_1.$
对于元素 $3 \in A,$，不存在 $y \in B$ 使得 $(3, y) \in \mathcal{R}_1.$
二进制比率 2
设二元关系为：
$$\mathcal{R}_2 = \\{(x, y) \in A \times B \text{ tal que } y^2=x^2\\}$$通过 $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ 和 $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$，我们有解决方案：
$$R_2 = \\{(0, 0), (1, 1), (1, -1),(2, 2), (3, 3)\\}$$
对于除 1 之外的每个元素 $x \in A,$，只有一个元素 $y \in B$使得$(x, y) \in \mathcal{R}_2.$
对于元素 $1 \in A,$，有两个元素 $1,-1 \in B$，使得 $(1, 1), (1, -1)\in \mathcal{R}_2.$
二进制比率 3
设二元关系为：
$$\mathcal{R}_3 = \\{(x, y) \in A \times B \text{ tal que } y=x\\}$$通过 $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ 和 $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$，我们有解决方案：
$$R_3 = \\{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\\}$$
对于每个元素 $x \in A,$，无一例外，只有一个元素 $y \in B$使得$(x, y) \in \mathcal{R}_3.$
二进制比率 4
设二元关系为：
$$\mathcal{R}_4 = \\{(x, y) \in A \times B \text{ tal que } y=(x-1)^2 -1\\}$$通过 $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ 和 $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$，我们有解决方案：
$$R_4 = \\{(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)\\}$$
对于每个元素 $x \in A,$，无一例外，只有一个元素 $y \in B$使得$(x, y) \in \mathcal{R}_4.$
二进制比率 5
设二元关系为：
$$\mathcal{R}_5 = \\{(x, y) \in A \times B \text{ tal que } y=2 \\}$$通过 $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ 和 $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$，我们有解决方案：
$$R_5 = \\{(O, 2), (1,2), (2, 2), (3, 2)\\}$$
对于每个元素 $x \in A,$，无一例外，只有一个元素 $y \in B$使得$(x, y) \in \mathcal{R}_5.$
表示特殊性的关系$\mathcal{R}_3, \mathcal{R}_4,\mathcal{R}_5$：
- “对于每个 $x \in A$，只有一个 $y \in B$ 使得 $(x, y)$ 属于该关系”。
- 在 $B$ 中给出应用程序名称 $A$ 或在 $A$ 中定义的函数以及 $B.$ 中的图像
函数定义
**定义（函数）：**给定两个非空集合 $A$ 和 $B$，$B$ 中 $A$ 的关系 $f$ 被赋予 $B$ 中 $A$ 的应用程序名称或 $A$ 中定义的函数以及 $B$ 中的图像当且仅当，对于每个$x \in A$ 只有一个 $y \in B$ 使得 $(x, y) \in f.$
函数定义有效的条件如下：
-
每个元素 $x \in A$ 必须至少参与一对 $(x, y) \in f,$即$A$的每个元素都必须作为箭头起点。
-
每个元素 $x \in A$ 必须只参与一对 $(x, y) \in f,$，即$A$的每个元素必须作为单个箭头的起点。
如果关系 f 不满足其中一个条件，则它不是应用程序（或函数） 上面的措辞：
- 如果 $A$ 中存在没有箭头开始的元素；
- 如果 $A$ 中有一个元素从两个或多个箭头出发。
函数符号
每个函数都是$A$到$B$的二元关系，因此，每个函数都是一组有序对。
一般来说，有一个开放句 $y = f(x)$ 表达了这样的规律：给定 $x \in A$，$y \in B$ 被确定为 $(x, y) \in f$，
然后
$$f = \\{(x, y) x \in A, y \in B ~~ e ~~ y = f(x)\\}.$$这意味着，给定集合 $A$ 和 $B,$，函数 $f$ 具有对应律 $y = f(x)$。
为了根据对应律 $y = f(x)$ 用 $B$ 中的图像表示 $A$ 中定义的函数 $f,$，我们将使用以下符号之一。
| 符号 1 | 符号 2 | |
|---|---|---|
| $f: A \rightarrow B\quad$ | 或者 | $ f: A \xrightarrow{f} B$ |
| $x \mapsto f(x)$ | $x \mapsto f(x)$ |
示例
-
$f: A \rightarrow B$
$x \mapsto 2x$
是将 $A$ 的每个 $x$ 与 $B$ 的 $y$ 关联起来的函数，使得 $y = 2x$
-
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$x \mapsto x$
是一个函数，它对 $\mathbb{R}$ 的每个 $x$ 取 $\mathbb{R}$ 的 $y$，使得 $y = x$
-
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$x \mapsto x$
是一个将每个 $x \in \mathbb{R}$ 与 $y \in \mathbb{R}$ 匹配的函数，使得 $y = x.$
如果$(a, b) \in f$，正如我们之前所说，元素$b$被应用程序称为a，或者元素a中的$f$，我们指示：
$f(a) = b$
如果 lẽ “$a$ 的 $f$ 等于 $b$”。
示例
让函数
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$x \mapsto 2x + 1$ 然后
a) 应用程序 $f$ 对 $0$ 的图像是 $1,$，即：
$f(0) = 2 • 0 + 1 = 1$
b) 应用$f$得到的$-2$的图像是$-3,$，即：
$f(-2) = 2 • (-2) + 1 = -3$
c) 相似地
$f(\frac{1}{2}) = 2~•~ \frac{1}{2} + 1 = 2$
$f(\sqrt{2}) = 2 • \sqrt{2} + 1$
$f(0,7) = 2 • 0,7 + 1 = 2,4$
练习
练习 1
下列从$\mathbb{R}$到$\mathbb{R}$的函数的表示法是什么？
a) f 将每个实数与其相反数关联起来
b) g 将每个实数与其立方相关联
c) h 将每个实数与其平方减 1 相关联
d) k 将每个实数与数字 2 相关联
练习 2
令$f$为$\mathbb{R}$在由$f(x) = x^2 - 3x + 4$定义的$\mathbb{R}$中的函数。计算：
a) $ f(2)$
b) $f(-\frac{1}{3})$
c) $f(-\sqrt{3})$
d) $f(1-\sqrt{2})$
练习 3
设$f$为$\mathbb{Z}$在$f(x) = 3x - 2.$定义的$\mathbb{Z}$中的函数，计算：
a) $f(2)$
b) $f(-3)$
c) $f(0)$