在上一篇文章中，展示了 Bhãskara 用于求解 2 次方程的技术。 15 世纪和 17 世纪之间的许多数学家为 2 次方程开发了不同的形式。其中之一是 François Viète (1540-1603)。
弗朗索瓦·维埃特的提案
François Viète 受到 Bhãskara 的启发，使用了共享围巾的方法，我们将在下一个主题中演示该方法。
| 弗朗索瓦·维埃特 |
|
弗朗索瓦·维埃特研究的一些主题摘录。
| 年 |
作者 |
文章 |
符号 |
| 1593 |
弗朗西斯·维埃塔 |
|
$$1x^3 + 30x^2+44x = 1560$$ |
现代方法的演示
在这里，我们将使用显着产品和平方面积等特征。令以下方程为2次。
$$ax^2 + bx+ c =0$$
第一步是隔离 $x^2$，为此我们将使用比例。
$$
\begin{aligned}
(ax^2 + bx+ c) \color{red}{\div a} &=0 \color{red}{\div a}\\
x^2 + \dfrac{b}{a}x+ \dfrac{c}{a} \color{red}{- \dfrac{c}{a}} &= 0 \color{red}{- \dfrac{c}{a} }\\
x^2 + \dfrac{b}{a}x &= -\dfrac{c}{a} \\
\end{aligned}
$$
现在我们按照几何图形两边加上$\dfrac{b^2}{4a^2}$，这就是下面交叉表中相乘的结果。
$$
\begin{aligned}
x^2 + \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b}{2a}x \color{red}{+\dfrac{b^2}{4a^2} } &= \color{red}{+\dfrac{b^2}{4a^2} } -\dfrac{c}{a}\\
\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2 &= \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} \\
x+\dfrac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} }\\
x+\dfrac{b}{2a} \color{red}{- \dfrac{b}{2a} } &= \color{red}{- \dfrac{b}{2a} } \pm \sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} } \\
x &= - \dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac } }{2a} \\
\end{aligned}
$$
人们称之为$\Delta = \sqrt{b^2 - 4ac }$。由此，我们得到：
$$
\begin{aligned}
x &= \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} \\
\end{aligned}
$$
因此，我们必须
$$
\begin{aligned}
x &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a} \\
\text{ou} & \\
x &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a} \\
\end{aligned}
$$
示例 1
下面的等式代表了 Bhãskara 时代所使用的商品划分。
目前我们有：
$$x^2+10x -39 = 0$$
$$
\begin{aligned}
\Delta &=b^2 - 4ac \\
&= 10^2 - 4~.~1 ~.~ (-39) \\
&= 100 + 156\\
&= 256\\
\end{aligned}
$$
因此，我们必须
$$
\begin{aligned}
x &= \dfrac{-10 + \sqrt{256} }{2} = 3 \\
\text{ou} & \\
x &= \dfrac{-10 - \sqrt{256} }{2} = -13\\
\end{aligned}
$$
在上一篇文章中我们详细计算过。
值得记住的是，这个例子是关于资产共享的。在这种情况下，负值对于该应用程序没有意义。但是，在其他情况下我们可以使用其他解决方案。
财产
Cardano-Viète 定理：令方程的形式为 $ax^2 + bx+ c =0$，其中 $a\neq 0,$ 具有实根 $x_1$ 和 $x_2$。所以我们有
$$\text{Soma} = S = x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a}$$
$$\text{Produto} = P = x_1 ~.~ x_2 = \dfrac{c}{a}$$
演示：
设方程的根为：
$$
\begin{aligned}
x_1 &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a} \\
x_2 &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a} \\
\end{aligned}
$$
根之和由下式给出：
$$
\begin{aligned}
S &= x_1+x_2 \\
&= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a} + \left(\dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a}\right) \\
&= \dfrac{-2b}{2a} \\
&= \dfrac{-b}{a} \\
\end{aligned}
$$
根的乘积由下式给出：
$$
\begin{aligned}
P &= x_1 ~.~ x_2 \\
&= \left(\dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a}\right) ~.~ \left(\dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a}\right) \\
&= \dfrac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2} \\
&= \dfrac{b^2 - -b^2 + 4ac}{4a^2} \\
&= \dfrac{c}{a} \\
\end{aligned}
$$
$\square$
示例 2
方程根的和与积是多少
$$2x^{2}-3x-6=0$$
不需要方程的根。
解决方案：
$$S=x_{1}+x_{2}={\frac {-b}{a}}={\frac {-(-3)}{2}}={\frac {3}{2}}$$
$$P=x_{1}~.~x_{2}={\frac {c}{a}}={\frac {-6}{2}}=-3$$
判别分析
定义（判别式）： 术语 $\Delta=b^{2}-4ac$ 称为判别式。
令方程的形式为 $ax^2 + bx+ c =0$，其中 $a\neq 0,$
结果：
- $\Delta >0$ 有两个不同的实数根；
- $\Delta =0$ 有两个实根且相等；
- $\Delta <0$ 没有真正的根。
示例 3
$m$ 的值是多少，使得方程
$$2x^{2}+x+m=0$$
使它有真实而独特的根源。
解决方案：
在这种情况下，
$$\Delta =b^{2}-4ac>0$$
然后
$$
\begin{aligned}
(1)^{2}-4(2)(m) &> 0 \\
1-8m &> 0 \\
m &< \dfrac{1}{8} \\
\end{aligned}
$$
示例 4
$m$ 的值是多少，使得方程
$$x^{2}+mx+4=0$$
故有实根、平等根。
解决方案：
在这种情况下，
$$\Delta =b^{2}-4ac=0$$
然后
$$
\begin{aligned}
(m)^{2}-4(1)(4) &= 0 \\
m^2-16 &= 0 \\
m &= \pm 4 \\
\end{aligned}
$$
示例 5
$m$ 的值是多少，使得方程
$$mx^{2}+2x+3=0$$
让她没有真正的根基。
解决方案：
在这种情况下，
$$\Delta =b^{2}-4ac=0$$
然后
$$
\begin{aligned}
(2)^{2}-4(m)(3) &< 0 \\
m &> \dfrac{1}{3} \\
\end{aligned}
$$
这些是二次方程的结果。等待接下来的帖子。
