在之前的文章中，我们讨论了比例及其主要应用。在这里，我们将以几何形式来处理它，这对于数学研究的连续性非常重要。欧几里得大量阐述了这些概念，他是一位生活在公元前 3 世纪的希腊数学家，负责创建我们今天所知的几何学。

欧几里得的作品。

这种情况在几何学中经常出现，例如三角形相似、泰勒斯定理等。

古希腊数学家使用相似性和比例的概念，找到了计算地球、太阳和月亮等恒星大小的方法。

三角形的相似度

入学考试中使用的光学器件是由皮埃尔·费马 (Pierre Fermat) 在他的著作《Variar Opera Mathematica de 1679》中发现的。他的原名是克莱门特·塞缪尔·费马，后来改名为皮埃尔·费马。从费马的研究中，我们强调两个重要结果：

光的反射 光的折射

这是一个例子，其中我们使用三角形的相似性。三角形相似度是一个概念，表示如果两个三角形的边和角的比例相同，则两个三角形相似。

三角形相似的主要原因正是四边形的特殊情况。让我们记住定义：

三角形是一个三边多边形，其中我们使用直线段作为边。这是四边形的特例，因为它是除以 2 的四边形。

特别地，三角形由3个顶点形成。

三角形的另一个定义是根据名称的由来：

  • Tri 定义为 3（三）；
  • 角度是由顶点连接的两条直线段之间的**“开口”**。

角度 - 角度全等

欧几里得定义的第一个Canon（上帝法则）是：

Canon α et (更多) β et (更多) γ aequalis (等于) 180°

神律α+β+γ=180&#176；

三角形 角度 半转

这样，我们就可以定义三角形角度比例的第一个标准。

判据（角度，角度）：如果两个三角形整齐地获得两个相等的角度，那么它们将相似。

从图中我们得到：

  • 顶角B与顶角E全等$\equiv$（等于）；
    • $\angle B \equiv \angle E$
  • 顶点 A 的角度与顶点 D 的角度全等 $\equiv$（等于）；
    • $\angle A \equiv \angle D$

全等边 - 角 - 边

标准（边、角、边）：如果两个三角形有两条对应的边彼此成比例，并且这两条边之间的角度全等（相等），则这两个三角形相似。

这样，我们得到如下比例：

$$\dfrac{\bar{AB} }{\bar{CD} } = \dfrac{\bar{AC} }{\bar{EF} }$$

边-边-边全等

标准（边，边，边）：如果两个三角形的三个对应边彼此成比例，那么它们将相似。

这样，我们得到如下比例：

$$\dfrac{\bar{AB} }{\bar{DE} } = \dfrac{\bar{AC} }{\bar{DF} } = \dfrac{\bar{BC} }{\bar{EF} }$$

经典例子

经典：下面两个三角形是相似的。确定线段 DF 的度量。

分辨率：

根据三角形的相似度我们得到：

$$\dfrac{\bar{AC} }{\bar{AB} } = \dfrac{\bar{DF} }{\bar{DE} }$$

$$\dfrac{5 }{4 } = \dfrac{x }{14 }$$

$$x = \dfrac{35 }{2 }$$

入学考试示例（Fuvest）

Fuvest：下图中，三角形ABC在A处直角，ADEF是一个正方形，$AB=1$和$AC=3.$正方形的边长是多少？

分辨率：

最初，我们将应用标准（边、角度、边）。由于角度 A 是正确的，因此我们可以应用标准（边，边，边）。

$$\dfrac{\bar{DB} }{\bar{DE} } = \dfrac{\bar{FE} }{\bar{FC} }$$

这样，我们就有：

$$\dfrac{1-x }{x } = \dfrac{x }{3-x }$$

$$(1-x)(3-x) = x~.~x$$

$$x = \dfrac{3}{4}$$

因此，正方形的边长是$\dfrac{3}{4}$。

泰勒斯定理

使用比例的下一个主题是米利都泰勒斯定理。这位伟大的几何学家在公元前六世纪就受到高度认可。

格拉菲科的欧几里得斯。

这些伟大的贡献使他被公认为画法几何的先驱之一。

塔尔斯定理：它是应用于几何的比例关系。 如果一束至少具有三条直线的平行线与两条横向线相交，则其中一条横向线的任意两段与另一条横向线的对应线段成比例。

两条平行线切割三条平行线，形成四段。

格拉菲科的欧几里得斯。

当使用三角形相似度的概念时，我们观察下图：

格拉菲科的欧几里得斯。

因此，我们得到如下比例关系。

$$\dfrac{\bar{AB} }{\bar{A^\prime B^\prime} } = \dfrac{\bar{BC} }{\bar{B^\prime C^\prime} }$$

故事例子

找到 $x$。 格拉菲科的欧几里得斯。

从Tales 定理我们得到：

$$\dfrac{15}{5} = \dfrac{20 }{x }$$

$$x = \dfrac{100 }{15 }$$

$$x = \dfrac{20 }{3 }$$