Euler's Eyes
2022-07-22
有理数运算
在基督之前的几个世纪里，正有理数在埃及被广泛使用。经过多年的游牧生活后，智人开始了农业革命，随之而来的是使用有理数的需要。它们在地标中的使用是使用这些数字的主要需求。
在尼罗河上，土地洪水迫使土地重新标记。这样就用有理数来标注土地。
定义
到目前为止，在数学史上，我们注意到有理数是用分数表示的，其中：
- 分子是整数$p\in \mathbb{Z}$。
- 分母是整数 $q\in \mathbb{Z}$。
- 分母非零 $q\neq 0$。
不失一般性，让我们从正有理数的定义开始。因此，有理数集可以写为：
**定义：**设$p$和$q$为正整数，$q\neq 0$为正整数，则$\dfrac{p}{q}$为正有理数。正有理数集由下式给出：
$$\mathbb{Q} = \left\\{ \dfrac{p}{q}, \quad \text{com p e q inteiros positivos e q diferente de zero} \right\\}$$
所以我们构建了第三组数字。数字的构造顺序是：
- 自然数 $\mathbb{N} = \\{0,1,2,3,\dots\\}$
- 整数 $\mathbb{Z} = \\{\dots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\\}$
- 有理数 $\mathbb{Q} = \left\\{\dots, -\dfrac{3}{2},-1, -\dfrac{1}{2}, 0,\dfrac{1}{2},1,\dfrac{3}{2},2,\dots \right\\}$
另一种表示有理数的方法
在上一节中，我们将有理数表示为 $\frac{p}{q}.$。在这里，我们将有理数表示为将单位分为 q 个相等的部分。设$p$和$q$为正整数，我们取$p$部分为单位除法：
$$p~.~\dfrac{1}{q} = \dfrac{p}{q}$$其中$p$是单位划分的部分数，可以看作：
$$p~.~\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{q} + \dots + \dfrac{1}{q} \qquad p\text{ vezes}$$示例1：$1$和$\dfrac{1}{3}$的表示为：
示例2：$\dfrac{2}{3}$的表示为：
$$2~.~\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} =\dfrac{2}{3}$$
等值分数
在某些情况下，我们可以获得等值分数。利用平衡原理我们可以获得这些等价分数。
示例 3： 等价分数：
| $$\dfrac{3}{5}$$ | $$\dfrac{6}{10}$$ |
|---|---|
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|
这些是等价分数吗？
事实上，值得记住的是 $\dfrac{2}{2}=1$
$$\dfrac{3}{5} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3}{5} \dfrac{ {\color{red}{\times 2} } }{ {\color{red}{\times 2} } } = \dfrac{6}{10}$$**定义：**设$p$、$q$、$a$和$b$为正整数，则$\dfrac{p}{q}$是等于$\dfrac{a}{b}$的分数当且仅当$\dfrac{p}{q}=\dfrac{a}{b}$。
从示例 3 中，请注意：
$$\dfrac{6}{10} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{6}{10} \dfrac{ {\color{red}{\div 2} } }{ {\color{red}{\div 2} } } = \dfrac{3}{5}$$因此，它们实际上是等价的。
分数和
分数相加时，第一条规则是分母必须相同。观察示例：
$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$$当分母不同时呢？
方法 1： 比例
下一步是为两个分数保留相同的分母。为此，我们可以使用尺度法。
$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3}{5} \dfrac{ {\color{red}{\times 3} } }{ {\color{red}{\times 3} } } + \dfrac{1}{3} \dfrac{ {\color{red}{\times 5} } }{ {\color{red}{\times 5} } } = \dfrac{9}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{14}{15}$$一般来说，我们有：
$$\dfrac{p}{q} + \dfrac{a}{b} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{p}{q} \dfrac{ {\color{red}{\times b} } }{ {\color{red}{\times b} } } + \dfrac{a}{b} \dfrac{ {\color{red}{\times q} } }{ {\color{red}{\times q} } } = \dfrac{p ~.~b}{q~.~b} + \dfrac{a~.~q}{q~.~b} = \dfrac{pb + aq}{qb}$$$q, b$ 非零，
方法 2： 最小公倍数
最小公倍数法的实现如下：
$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3}$$现在让我们计算分母之间的最小公倍数：
$$\mathcal{D}(3)=\\{3,6,9,12,{\color{red}{15} },18,\dots\\}$$$$\mathcal{D}(5)=\\{5,10,{\color{red}{15} },20\dots\\}$$
$$mmc(3,5) = \min \\{\mathcal{D}(3)\cap \mathcal{D}(5)\\} = 15$$
因此，分母之间的最小公倍数是15。所以，我们可以求和：
$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3}= \dfrac{3 {\color{red}{\times 3} } }{15} + \dfrac{1 {\color{red}{\times 5} } }{15} = \dfrac{9}{15} + \dfrac{5}{15} =\dfrac{14}{15}$$分数减法
在分数减法中，第一条规则是分母必须相同。观察示例：
$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}$$当分母不同时呢？
方法 1： 比例
下一步是为两个分数保留相同的分母。为此，我们可以使用尺度法。
$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3}{5} \dfrac{ {\color{red}{\times 3} } }{ {\color{red}{\times 3} } } - \dfrac{1}{3} \dfrac{ {\color{red}{\times 5} } }{ {\color{red}{\times 5} } } = \dfrac{9}{15} - \dfrac{5}{15} = \dfrac{4}{15}$$一般来说，我们有：
$$\dfrac{p}{q} - \dfrac{a}{b} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{p}{q} \dfrac{ {\color{red}{\times b} } }{ {\color{red}{\times b} } } - \dfrac{a}{b} \dfrac{ {\color{red}{\times q} } }{ {\color{red}{\times q} } } = \dfrac{p ~.~b}{q~.~b} - \dfrac{a~.~q}{q~.~b} = \dfrac{pb - aq}{qb}$$$q, b$ 非零，
方法 2： 最小公倍数
最小公倍数法的实现如下：
$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3}$$现在让我们计算分母之间的最小公倍数：
$$\mathcal{D}(3)=\\{3,6,9,12,{\color{red}{15} },18,\dots\\}$$$$\mathcal{D}(5)=\\{5,10,{\color{red}{15} },20\dots\\}$$
$$mmc(3,5) = \min \\{\mathcal{D}(3)\cap \mathcal{D}(5)\\} = 15$$
因此，分母之间的最小公倍数是15。所以，我们可以求和：
$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3}= \dfrac{3 {\color{red}{\times 3} } }{15} - \dfrac{1 {\color{red}{\times 5} } }{15} = \dfrac{9}{15} - \dfrac{5}{15} =\dfrac{4}{15}$$分数乘法
在分数相乘中，分母的唯一规则是该数字必须非零。观察示例：
$$\dfrac{1}{3} ~.~ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 ~.~ 1}{3~.~2}= \dfrac{1}{6}$$一般来说，我们有：
$$\dfrac{p}{q} ~.~ \dfrac{a}{b} = \dfrac{p ~.~ a}{q~.~b}$$分数除法
在除法中，分母的唯一规则是数字必须非零。观察示例：
$$\dfrac{1}{3} ~\div~ \dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{1}{3} }{\dfrac{1}{2} }= \dfrac{\dfrac{1}{3} {\color{red}{\times 2} } }{\underbrace{\dfrac{1}{2} {\color{red}{\times 2} } }_{=1} } = \dfrac{\dfrac{2}{3} }{1} = \dfrac{2}{3}$$一般来说，我们有：
$$\dfrac{p}{q} ~\div~ \dfrac{a}{b} = \dfrac{\dfrac{p}{q} {\color{red}{\times \dfrac{b}{a} } } }{ \underbrace{\dfrac{a}{b} {\color{red}{\times \frac{b}{a} } } }_{1} } = \dfrac{p }{q}~.~ \dfrac{b}{a}$$