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每列的总和为 16。五列总计80，但我们对序列进行了两次计数；它的总和是40。一般来说，即使 n 为奇数，2Sₙ = n(a₁ + aₙ) 也是如此。

在上一篇文章中，我们讨论了算术级数的历史和思想。在这篇文章中，我们将更深入地探讨这个概念。

算术级数

从 1 到 5 的平方，具有可变差值 3、5、7 和 9。
与 PA 相比：识别模式并不能保证恒定的比率。

定义：

算术级数 (A.P.) 称为由以下给出的数列 递推公式：

$$ \begin{cases} a_1 = a \\ a_{n} = a_{n-1} + r, \text{ para todo } n \in\mathbb{N}, n\geq 2 \end{cases} $$

其中 $a$ 和 $r$ 为实数。

因此，A.P. 是一个序列，其中从第二个开始的每一项都是 前一个与给定常数 $r$ 的总和。

以下是算术级数的一些示例：

$$f_1 = (1, 3, 5, 7, 9, \dots) \text{ onde } a_1= 1 \text{ e } r = 2$$

$$f_2 = (0, -2, -4, -6, -8, \dots) \text{ onde } a_1 = 0 \text{ e } r = -2$$

$$f_3 = (4, 4, 4, 4, 4, \dots) \text{ onde } a_1= 4 \text{ e } r = 0$$

$$f_4 = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{9}{2}, \dots) \text{ onde } a_1 = \frac{1}{2} \text{ e } r = 1$$

$$f_5 = (4, \frac{11}{3}, \frac{10}{3}, 3, \frac{8}{3}, \dots) \text{ onde } a_1 = 4 \text{ e } r = -\frac{1}{3}$$

分类

具有比率 3、0 和负 2 的三个级数。
使用比例分类；证明常量情况的合理性。

算术级数可以分为三类：

  1. Crescent 是 A.P.，其中每一项都大于前一项。和 很明显，这种情况仅在 $r > 0$ 时发生，因为：
$$a_n > a_{n-1} \Leftrightarrow a_n - a_{n-1} > 0 \Leftrightarrow r > 0$$

示例： $f_1$ 和 $f_4$。

  1. 常量是 A.P.，其中每一项都等于前一项。很容易看到 这只发生在 $r = 0$ 时，因为：
$$a_n = a_{n-1} \Leftrightarrow a_n - a_{n-1} = 0 \Leftrightarrow r = 0$$

示例： $f_3$。

  1. 递减是每一项都小于前一项的 A.P.。仅当 $r < 0$ 时才会发生这种情况，因为：
$$a_n < a_{n-1} \Leftrightarrow a_n - a_{n-1} < 0 \Leftrightarrow r < 0$$

示例： $f_2$ 和 $f_5$。

特殊符号

当我们寻求获得 P.A.配合3、4或5项，非常实用 以下符号：

  1. 对于 3 项：$(x, x + r, x + 2r)$ 或 $(x - r, x, x + r)$
  2. 对于 4 项：$(x, x + r, x + 2r, x + 3r)$ 或 $(x - 3y, x - y, x + y, x + 3y)$， 其中 $y = \frac{r}{2}$
  3. 对于 5 项：$(x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r)$ 或 $(x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)$

**练习：**确定 $x$，以便 $(x, 2x + 1, 5x + 7)$ 是 P.A.

解决方案

我们应该有$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$。然后：

$$(2x + 1) - x = (5x + 7) - (2x + 1) \quad\Rightarrow\quad x + 1 = 3x + 6 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{5}{2}$$

**练习：**确定 $a$，以便 $(a^2, (a + 1)^2, (a + 5)^2)$ 是 P.A.

解决方案

我们必须有$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$，即$2a_2 = a_1 + a_3$。然后：

$$2(a + 1)^2 = a^2 + (a + 5)^2 \quad\Rightarrow\quad 2a^2 + 4a + 2 = 2a^2 + 10a + 25 \quad\Rightarrow\quad -6a = 23 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{23}{6}$$

**练习：**获取三项的 A.P.，使其总和为 24，其乘积为 440。

解决方案

使用 P.A. 的特殊符号 $(x - r, x, x + r)$，我们有：

\开始{案例} (x-r) + x + (x+r)=24 \quad (*)\\ (x-r) ~.~ x ~.~ (x+r)=440 \quad (**) \结束{案例}

从(*)我们得到$3x = 24$，即$x = 8$。替换(**)，我们得到：

$$(8 - r) ~.~ 8 ~.~ (8 + r) = 440 \quad\Leftrightarrow \quad 64 - r^2 = 55 \quad\Leftrightarrow\quad r^2 = 9 \quad\Leftrightarrow\quad r = \pm 3$$

因此，P.A.寻求的是：

$(5, 8, 11)$ 至 $x = 8$ 和 $r = 3$，或 $(11, 8, 5)$ 至 $x = 8$ 和 $r = -3$。

通用术语公式

序列 2、5、8、11 和 14 的图形点。
这些立场是自然的积极因素。这就是序列图有单独点的原因。

使用递推公式，通过 P.A.被定义并假设 给定第一项 ($a_1$)、所需项的比率 ($r$) 和索引 ($n$)，我们有：

\开始{eqnarray*} a_2 &=& a_1 + r \\ a_3 &=& a_2 + r \\ a_4 &=& a_3 + r \\ &\vdots& \\ a_n &=& a_{n-1} + r \end{eqnarray*}

添加这些 $n-1$ 等式，我们有：

\开始{eqnarray*} \underbrace{ \color{red}{a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{n-1} } }_{\text{取消} } + a_n = a_1 + \underbrace{ \color{red}{a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{n-1} } }_{\text{取消} } + (n-1) ~.~ r \end{eqnarray*}

然后是 $a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r$，这表明以下内容

定理

在 A.P. 中，第一项为 $a_1$，比率为 $r$，第 n 项为

$$a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r$$

证明通过有限归纳原理

I) 对于 $n = 1$，我们有：$a_1 = a_1 + (1-1) ~.~ r$（正确的句子）。

II) 让我们承认$n = p$公式的有效性：

$$a_p = a_1 + (p-1) ~.~ r \quad \text{(hipótese de indução)}$$

我们证明它对于 $n = p + 1$ 成立：

$$a_{p+1} = a_p + r = (a_1 + (p-1) ~.~ r) + r = a_1 + [(p + 1) - 1] ~.~ r$$

所以，$a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r, \ \forall n \in \mathbb{N}^*$。

练习

  1. 计算 A.P. 的第 17 项，其第一项为 3，比率为 5。

解决方案

注意到$a_1 = 3$和$r = 5$，让我们应用通用术语公式：

$$a_{17} = a_1 + 16r = 3 + 16 ~.~ 5 = 83$$
  1. 求 A.P. 的比率，其中第一项为 $-8$，第二十项为 $30$。

解决方案

$$a_{20} = a_1 + 19r \quad\Rightarrow\quad 30 = -8 + 19r \quad\Rightarrow\quad r = 2$$
  1. 获取公共广播其中$a_{10} = 7$和$a_{12} = -8$。

解决方案

写 P.A.需要确定$a_1$和$r$。我们有：

\开始{案例} a_{10} = 7 \quad\Rightarrow\quad a_1 + 9r = 7 \quad (*)\\ a_{12} = -8 \quad\Rightarrow\quad a_1 + 11r = -8 \quad (**) \结束{案例}

求解上述系统，我们有：

  1. $(**) - (*)$: $\ 2r = -15 \quad\Rightarrow\quad r = -\frac{15}{2}$
  2. 在$(*)$中：$\ a_1 + 9 ~.~ \left(-\frac{15}{2}\right) = 7 \quad\Rightarrow\quad a_1 = \frac{149}{2}$

因此 P.A.是$\left(\frac{149}{2}, \frac{134}{2}, \frac{119}{2}, \dots\right)$。

选择第一个术语、原因以及您想要的术语数量。打开高斯技巧来查看总和。

算术插值

从 5 到 17 的五个项，具有三个平均值和四个范围。
输入3意味着创建4范围。使用此计数来计算比率。

在每个有限序列 $(a_1, a_2, \dots, a_{n-1}, a_n)$ 中，项 $a_1$ 和 $a_n$ 是 称为极端，其他称为中间。因此，在 P.A. $(0, 3, 6, 9, > 12, 15)$ 极值是 $0$ 和 $15$，平均值是 $3, 6, 9$ 和 $12$。

在数字 $a$ 和 $b$ 之间插值、插入或交错 $k$ 算术平均值 意味着获得 P.A.极端值 $a_1 = a$ 和 $a_n = b$，以及 $n = k + 2$ 项。 确定该 P.A. 的方法有必要计算比率，如下所示：

$$a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r \quad\Rightarrow\quad b = a + (k+1) ~.~ r \quad\Rightarrow\quad r = \frac{b-a}{k+1}$$

示例： 在 1 和 2 之间插入 5 算术平均值。

让我们组建一个 P.A.具有 7 项，其中 $a_1 = 1$ 和 $a_7 = 2$。我们有：

$$a_7 = a_1 + 6 ~.~ r \quad\Rightarrow\quad r = \frac{a_7 - a_1}{6} = \frac{2-1}{6} = \frac{1}{6}$$

所以 P.A.是

$$\left(1, \frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}, \frac{11}{6}, 2\right)$$

和

总和为 16 的五项 PA 的极值对。
通过按两个顺序编写序列来证明 2Sₙ = n(a₁ + aₙ) 的合理性。

让我们推导一个公式来计算 P.A. 的 $n$ 初始项的总和 $S_n$。

定理 1

$n$个前正整数之和为$\frac{n(n+1)}{2}$。

通过有限归纳法证明

I) 对于 $n = 1$，我们有：$1 = \frac{1(1 + 1)}{2}$（正确的句子）。

II) 让我们承认$n = p$公式的有效性：

$$1 + 2 + 3 + \dots + p = \frac{p(p + 1)}{2}$$

我们证明它对于 $n = p + 1$ 成立：

$$1 + 2 + 3 + \dots + p + (p+1) = \frac{p(p + 1)}{2} + (p + 1) = \frac{p(p + 1) + 2(p + 1)}{2} = \frac{(p + 1)(p + 2)}{2}$$

然后$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \ \forall n \in \mathbb{N}^*$。

示例： 正整数序列的 50 项初始项之和为：

$$1 + 2 + 3 + \dots + 50 = \frac{50(50 + 1)}{2} = 25 \times 51 = 1275$$

使用通用项公式，我们可以计算 P.A. 的 $n$ 个初始项的总和 $S_n$。 $(a_1, a_2, \dots, a_n, \dots)$。

定理 2

在所有宾夕法尼亚州有：$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2} ~.~ r$

演示

\开始{案例} a_1 = a_1 \\ a_2 = a_1 + r \\ a_3 = a_1 + 2r \\ \点\\ a_n = a_1 + (n-1)r \结束{案例}

添加这些等式：

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \underbrace{(a_1 + a_1 + \dots + a_1)}_{n \text{ parcelas}} + (r + 2r + \dots + (n-1)r) = na_1 + [1 + 2 + \dots + (n-1)] ~.~ r$$

由定理1、$1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$；然后，

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = na_1 + \frac{(n-1) n}{2} ~.~ r$$

那是：

$$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2} ~.~ r$$

定理 3

在所有宾夕法尼亚州有：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

演示

$$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2} r = \frac{2na_1 + n(n-1)r}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)r]}{2} = \frac{n[a_1 + a_1 + (n-1)r]}{2} = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

示例

  1. A.P. $(-2, 1, 4, 7, \dots)$ 的 15 初始项之和为：
$$S_{15} = 15 ~.~ (-2) + \frac{15 ~.~ 14}{2} ~.~ 3 = -30 + 315 = 285$$
  1. 2 从 4 到 100 的整数倍之和可以通过注意到 $(4, 6, 8, \dots, 100)$ 是 49 项的 A.P. 来计算，其中 $a_1 = 4$ 和 $a_{49} = 100$：
$$S_{49} = \frac{49(4 + 100)}{2} = 49 \times 52 = 2548$$

实验室：识别、计算、检验

在下面的训练中，出现了三个任务：发现原因、计算项和添加项。 在检查之前写下你的策略。难度改变了考虑的术语数量。 本活动中的问题使用自然术语和比率，包括零。

一轮有 10 个 AP 挑战。必要时使用 aₙ = a₁ + (n − 1)r 和 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。

挑战：术语什么时候不再自然？

PA 从 9 开始，原因为 -2。写出前六个术语。 到什么位置所有项仍然是自然项？

看看调查情况

这些术语是 9、7、5、3、1 和 -1。前五个是自然的；第六个已经是负数了。 即使该术语的值不是自然的，该位置仍然是积极的自然。