在这篇文章中，我们将讨论素数。为此，我们将使用自然数或合数的倍数的概念。希腊人在基督之前通过埃拉托色尼筛.

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自然数除数的性质

总结以前的帖子，我们看到自然数由下式给出：

$$\mathbb{N} ={0,1,2,3, \dots}$$

在计算自然数除法时，这个结果可能是准确的。这样，我们就找到了这个自然数的一个除数。从我们定义的除数的属性开始：

**定义：**自然数 $n$ 的除数集由下式给出：

$$\mathcal{D}(n)$$

自然数的除数

有了这个定义，我们可以构造自然数 $n$ 的除数集：

自然数 $(n)$ $\mathcal{D}(n)$ 分隔线
0 $\mathcal{D}(0)$ $\\{ 1,2, 3, 4, \dots\\} $
1 $\mathcal{D}(1)$ $ \\{1\\} $
2 $\mathcal{D}(2)$ $ \\{ 1.2\\} $
3 $\mathcal{D}(3)$ $ \\{ 1.3\\} $
4 $\mathcal{D}(4)$ $ \\{ 1,2,4 \\} $
5 $\mathcal{D}(5)$ $ \\{ 1.5\\} $
6 $\mathcal{D}(6)$ $ \\{ 1,2,3,6 \\} $
7 $\mathcal{D}(7)$ $ \\{ 1.7\\} $
8 $\mathcal{D}(8)$ $ \\{ 1,2,4,8 \\} $
9 $\mathcal{D}(9)$ $ \\{ 1,3,9 \\} $
10 $\mathcal{D}(10)$ $\\{ 1,2,5,10\\} $
11 $\mathcal{D}(11)$ $\\{ 1.11\\} $

特性

分频器有一些属性。下面我们介绍其中的一些：

  1. 数字 1 和 $n$ 始终属于自然数 $n$ 的除数集。请记住，n 不为零。
$$1, ~n \in \mathcal{D}(n) \quad n\neq 0$$

事实上，对于每个自然数 $n>0$，我们有：

$$n = 1~.~n$$

因此，数字 1 是自然数 $n$ 的除数，$n$ 也是如此。

从我们构建的表中，我们注意到该属性成立。

  1. 如果$n>0$且$m$属于$n$的约数，即$m\in\mathcal{D}(n).$则$m$小于等于$n,$即， $m\leq n$。

素数定义

通过这种方式，我们能够定义素数。

**定义：**如果 $p$ 是素数，那么素数的除数集合是 $1$ 和 $p,$ 更具体地说

$$\mathcal{D}(p) =\\{1,p\\}$$

所以上表中的素数是：

自然数 $(n)$ $\mathcal{D}(n)$ 分隔线
二 $\mathcal{D}(2)$ $ \\{ 1.2\\} $
3 $\mathcal{D}(3)$ $ \\{ 1.3\\} $
5 $\mathcal{D}(5)$ $ \\{ 1.5\\} $
7 $\mathcal{D}(7)$ $ \\{ 1.7\\} $
11 $\mathcal{D}(11)$ $ \\{ 1.11\\} $

如果非零数 $b$ $(b\neq 0)$ 是自然数 $a,$ 的除数，则存在自然数 $q$ 使得 $a=bq.$ 我们构建它如下：

$$ \begin{aligned} a & |\underline{}\underline{b}\underline{}\\ 0 & \quad q\\ \end{aligned} $$

注意：

  • 如果余数 $r$ 为零，则 $b$ 是 $a$ 或 $a = bq$ 的除数。
  • 如果余数 $r$ 不为零，则 $b$ 不是 $a$ 或 $a = bq + r$ 的除数。

在后偶数和奇数我们看到它们可以写成以下形式：

  • 对 $n = 2 q$
  • 奇数 $n = 2 q + 1$

尤其是，

  • 每个自然数 $n$ 都是 2 的倍数。
  • 唯一的偶数是 2。

这样，从素数构造一个倍数：

$$n = p q$$

其中

  • $p$ 是质数。
  • $n$ 是任何自然数。
  • $q$ 是质数 $p$ 的倍数。

合数

然后我们可以定义合数：

**定义：**如果 $p$ 是素数并且一个数 $a$ 可以由素数的倍数构成。所以这个数字是复合的。

素数 $(p)$ 合数 $(a=pq)$ 合数集 $(n)$
二 $a = 2 q$ $\\{ 2, 4, 6, 8, \dots\\} $
3 $a = 3 q$ $\\{ 3, 6, 9, 12, \dots\\} $
5 $a = 5 q$ $\\{ 5, 10, 15, 20, \dots\\} $
7 $a = 7 q$ $ \\{ 5, 10, 15, 20, \dots\\} $
11 $a = 11 q$ $ \\{ 11, 22, 33, 44, \dots\\} $

Crivo de Eratóstenes

C R 我 五 ○
$2$ $3$ $4$ $5$
$6$ $7$ $8$ $9$ 10 美元
11 美元 12 美元 13 美元 $14$ 15 美元
16 美元 17 美元 18 美元 19 美元 20 美元
$21$ $22$ 23 美元 $24$ 25 美元
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. 第一个素数是 2，因为没有大于 1 且小于它的除数。所以让我们筛选一下 2 的倍数。
C R 我 五 ○
$2$ $3$ $\cancel{4}$ $5$
$\cancel 6$ $7$ $\cancel 8$ $9$ $\cancel{10}$
11 美元 $\cancel{12}$ 13 美元 $\cancel{14}$ 15 美元
$\cancel{16}$ 17 美元 $\cancel 18$ 19 美元 $\cancel 20$
$21$ $\cancel{ 22}$ 23 美元 $\cancel{ 24}$ 25 美元
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. 第二个素数是 3，因为没有大于 1 且小于它的除数。因此，让我们筛选 3 的倍数。
C R 我 五 ○
$2$ $3$ $\cancel{4}$ $5$
$\cancel{\cancel{ 6}}$ $7$ $\cancel 8$ $\cancel{9}$ $\cancel{10}$
11 美元 $\cancel{\cancel 12}$ 13 美元 $\cancel{14}$ $\cancel{\cancel 15}$
$\cancel{16}$ 17 美元 $\cancel{\cancel 18}$ 19 美元 $\cancel 20$
$\cancel{21}$ $\cancel{ 22}$ 23 美元 $\cancel{\cancel 24}$ 25 美元
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. 第三个素数是 5，因为没有大于 1 且小于它的除数。因此，让我们筛选 5 的倍数。
C R 我 五 ○
$2$ $3$ $\cancel{4}$ $5$
$\cancel{\cancel{ 6}}$ $7$ $\cancel{ 8}$ $\cancel{9}$ $\cancel{\cancel 10}$
11 美元 $\cancel{\cancel 12}$ 13 美元 $\cancel{14}$ $\cancel{\cancel 1 \cancel 5}$
$\cancel{16}$ 17 美元 $\cancel{\cancel 18}$ 19 美元 $\cancel{\cancel 20}$
$\cancel{21}$ $\cancel{ 22}$ 23 美元 $\cancel{\cancel 24}$ $\cancel{25}$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. 第四个素数是 7，因为没有大于 1 且小于它的除数。7 的筛子将留作练习。

所以结果是素数。这样我们就得到了表：

C R 我 五 ○
$2$ $3$ $5$
$7$
11 美元 13 美元
17 美元 19 美元
23 美元
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$

这些是关于素数理论的一些观点。在纯数学书（大学生）我们会讲更多的细节。