具有数字序列的几何

使用几何的数字

在《元素》中，它以几何角度显示数字。在之前的文章中，我们将一个自然数与另一个自然数的乘积视为矩形或正方形的面积。

财产	分配性

与几何相关的数字示例，我们可以找到三角形数。

从图中我们注意到三角形数是排列如下的数：

$$T_1 = 1$$

$$T_2 = 3$$

$$T_3 = 6$$

$$T_4 = 10$$

这是三角形数序列的基本示例，它们有一个通用公式，即我们可以定义该序列的模式。数学家总是想出捷径，让生活变得更轻松。例如：

$$ \begin{aligned} T_1 &= 1\\ T_2 &= T_1 + 2 = 1 + 2 = 3\\ T_3 &= T_2 + 3 = 3 + 3 = 6\\ T_4 &= T_3 + 4 = 6 + 4 = 10\\ \end{aligned} $$

一般来说，我们有：

$$ \begin{cases} T_1 &=& 1\\ T_n &=& T_{n-1} + n\qquad \text{para qualquer número natural n.}\\ \end{cases} $$

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图形数字：用点画出的三角形、正方形、长方形数字。

现在，您相信 6 岁的卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) 推导出了三角形数吗？今天我们称之为算术级数。

高斯在德国的一所学校学习时，一位老师因学生的行为而感到压力，要求他们将1到100的自然数相加。当提出这个问题时，他想象学生们大约需要 2 个小时或更长时间。然而，令他惊讶的是，高斯在6岁的时候用了不到1分钟的时间解决了这个问题。

我们将1到100的数字按升序排列，然后按降序排列，如下所示：

$$ \begin{cases} T_{100} &=& 1 + 2 + \dots + 99 + 100\\ T_{100} &=& 100 + 99 + \dots + 2 + 1\\ \end{cases} $$

现在，老师，我们添加两个术语：

$$2 T_{100} = \underbrace{101 + 101+ \dots + 101 + 101}_{100~\text{vezes} } $$

当我们添加两次时，我们有：

$$T_{100} = \dfrac{100 \times 101}{2}$$

在高中，我们知道如何：

$$T_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$

就像三角形数一样，我们可以基于正方形定义递归序列模式。

但是，我们将把它作为练习留给您，根据平方定义循环序列的模式。 :笑脸: 😸

高斯魔术：两个相等的楼梯形成一个矩形。