Euler's Eyes
2022-06-15
自然数的乘法
看过乘法表的小组
查看发现
13 = 8 + 4 + 1。我们添加 48 + 24 + 6 = 78。 2组行不输入该总和。
在这篇文章中，我们将讨论自然数相乘。值得记住的是，乘法是加法的特殊情况。事实上，只需添加等份即可。
乘法是在初级阶段教授的，从3°；小学那一年。埃及人、东方人（日本和中国）和印度教徒都研究过这个课题。
| 写作 | 写作艺术 |
|---|---|
|
|
添加等额分期付款给我们带来了双倍、三倍等概念。
-
双 \(a\) 为 \(2a = a + a\)
- 双 \(2\) 为 \(2~.~2 = 2 + 2 = 4\)
-
\(a\) 的三倍是 \(3a = a+ a+ a\)
- \(5\) 的三倍是 \(3~.~5 = 5 + 5 + 5 = 15\)
-
等等。
简而言之，将一个自然数\(a\)乘以一个自然数\(n\)，即我们加上\(n\)分期等于\(a\)。
$$na = \underbrace{a+a+\dots+a}_{\text{n vezes} }$$$$n~.~a = \underbrace{a+a+\dots+a}_{\text{n vezes}}$$$$n\times a = \underbrace{a+a+\dots+a}_{\text{n vezes}}$$
\(7\) 的四倍数是 \(4~.~7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28\)。
使用目视法（平方）的乘法如下：
- 我们取边上的平方数 a
- 我们乘以边上的正方形数量 b
- 结果是通过计算完整正方形的正方形来获得的。
帮助我们建立数学网站。尽你所能捐赠。
乘法性质
您听说过拖拉机订单不会改变高架桥吗？
| 高架桥 | 拖拉机 |
|---|---|
|
|
但这和乘法有什么关系呢？真正的句子是因素的顺序不会改变产品。
- Impa Portal：乘法、计算以矩形排列的对象
交换律
这意味着：
$$3\times 5 = 5 \times 3 = 15$$一般来说：
$$a\times b = b \times a \quad \text{para quaisquer números naturais a e b.}$$
此属性是交换属性。
分配财产
| 财产 | 分配性 |
|---|---|
|
|
从图中我们注意到分配律成立：
所以：
$$c\times (a+b) = (c\times a) + (c\times b) \quad \text{para quaisquer números naturais a, b e c.}$$
- Impa Portal：分布式属性
关联属性
关联属性是从平行六面体型排列获得的。
| 铺路石 | 鹅卵石区 |
|---|---|
|
|
平行六面体的尺寸由边 a、b 和 c 给出。平行六面体的面积由下式给出：
$$A_{\text{paralelepípedo} } = a\times b\times c = (a\times b)\times c = a\times (b\times c) $$所以：
$$a\times b\times c = (a\times b)\times c = a\times (b\times c) \quad \text{para quaisquer números naturais a, b e c.}$$
电源特性
幂属性是通过重复值相乘获得的。例如：
$$\underbrace{a \times a \times\dots \times a}_{\text{a multiplicado n vezes} } = a^n \quad \text{a multiplicado por ele mesmo n vezes}$$
平方根性质
当前的教学基于一个过程，其中信息随着时间的推移而丢失。的 孩子们的学习方式完全错误，或者丢失了大量信息。例如，信息 我从我的孩子那里得知，一个数的平方根是极其困难的。但恰恰相反NO。
这个词
- 平方根
在拉丁语中它代表
- 正方形的一边
例如我们取\( \sqrt{4}=2\)，答案在模块中。然而，此时我们还不知道负数。 这是随着时间的推移而丢失的信息，也就是说，我们已经成为一种无菌的符号。读者将会看到， 符号学上活跃的符号是那些为数学进步而演变的符号。
从拉丁语（Latin）角度看平方根
基数平方 4 等于 2
我们翻译为：
面积为 4 的正方形的边等于 2
如上所述，信息随着时间的推移而丢失：
基数平方 4 等于 2
rad 四边形 4 aq 2
拉夸 4 水 2
r q 4 aq 2
突然 r 吞掉了这个数字：
$$ \sqrt{4}=2$$
九九乘法口诀表
九九乘法表就是我们现在所说的九九乘法表，是小学老师的刑具。然而，现代教师一直将其用于善行而不是邪恶。下图显示了从1到10的乘法表。
请注意，行乘以列的对角线是其他数学家用作平方根（平方的边）的东西，如简介部分所述。有效：
$$\text{radix quadratum (lado do quadrado)}~ 4~\text{aequalis (igual)}~2 \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{4}=2$$
数学不是魔法，它是一门艺术，小学时并不需要背诵。如何从九九乘法表中观察艺术？
- 乘法表的对角线由2的幂属性组成。
- 电源属性 $$2^2 = 4, \quad 3^2=9, \quad 4^2 = 16, \quad \dots 9^2=81$$
- 2乘法表仅由偶数组成。
- 对于3，它散布在偶数和奇数之间。
- 4 的乘法表，除了仅对之外，是 2 乘法表的两倍。
- 5 以 0 或 5 结尾。
- 6中的除偶数和奇数之外，是3中乘法表的两倍。
- 对于7，只需将6的乘法表与要相乘的行相加即可。
- 8 的乘法表与 2 和 4 的乘法表具有相同的属性，并且是 4 乘法表的两倍。
- 最后，9，十从零开始增加，而单位从9开始减少。
9 乘法表特别是：
$$\text{unidades:} ~~ 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow \dots \rightarrow 9$$$$\text{dezenas:} ~~ 9 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow \dots \rightarrow 0$$
例如，对于 \(9\times 7\)，我们有：
$$\text{unidades:} ~~ 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6$$ $$\text{dezenas:} ~~ 9 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3$$因此，结果是：
$$9\times 7 = 63$$
乘法算法
接下来我们将介绍一些乘法算法。现在哪种选择取决于用户，因为在数学中，我们有不同的计算方法，选择取决于使用它的人。
- Impa Portal：乘法
分解法
接下来我们将介绍分解算法。为此，我们取10 x 273，观察以下方法：
现在，让我们看下一个例子，它将作为传统学校教授方法的动机。
改进的分解方法
接下来，我们将介绍重构的分解算法。为此，我们取35 x 273，观察以下方法：
为了让孩子们更容易理解，老师把零去掉，用空格代替。
- Impa Portal：2 位数字的乘法
埃及人的繁衍
埃及的编号系统是象征性的，顺序并不重要。当我们的数量非常大时，这是一个缺点。主要的算术运算是通过连续加倍进行的加法和乘法。
这些运算源自求和，更具体地说，乘法是通过使用两列时将数量连续加倍而获得的。第一个是我们要计算的乘积因子之一。算法如下：
- 表的每一行填充的值是前一行的两倍；
- 左边的数字不需要超过要相乘的数字，我们必须取最接近的值；
- 连续复制后，我们将右侧的列相加，其中左侧列的相应值达到要相乘的数字。
示例：接下来计算 21 x 37
| $$2^{\text{número da linha}}$$ | $$\text{Valor multiplicado}~\times 2$$ |
|---|---|
1 |
37 |
| 2 | 74 |
4 |
148 |
| 8 | 296 |
16 |
592 |
请注意，对于左列，1 + 4 + 16 = 21。在右列中37 + 148 + 592 = 777。因此，
$$21 \times 37 = 777$$这是神秘主义吗？
许多人问埃及的这种方法是否正确。但事实真的是这样吗？
我，欧拉，作为一名数学家，必须证明这是真的。实际上：
$$a = a_n~.~b^n + a_{n-1}~.~b^{n-1} + a_{n-2}~.~b^{n-2} + \dots + a_{2}~.~b^{2} + a_{1}~.~b^{1} + a_0$$
Teorema:给定一个大于单位（一）的整数 b （基数），我们可以得到每个正整数 a 都可以用唯一的方式编写，如下所示：其中每个 \(a_i\) 属于范围 \([0,b)\)，\(a_n\) 非零且 n 大于或等于零。
不失一般性，我们采取二进制中的分解，即基数2。这样，我们就有：
$$a = a_n~.~2^n + a_{n-1}~.~2^{n-1} + a_{n-2}~.~2^{n-2} + \dots + a_{2}~.~2^{2} + a_{1}~.~2^{1} + a_0~.~2^0$$当将自然数分解为底2时，出现的系数是二进制的，即零或一，因为\(a_i\)属于区间\([0,2)\)。这是因为2的除数意味着如果数字是奇数则余数为1，如果数字是偶数则余数为零。对于 0 和 \(n\) 之间的每个索引 \(i\)，类似于 \(a_i=0\) 或 \(a_i=1\)。
回到示例，观察：
$$21=16+4+1=1~.~2^4 + 0~.~2^3 + 1~.~2^2 + 0~.~2^1 + 1~.~2^0$$现在，我们计算：
$$21 \times 37 = (16+4+1)\times 37 = 592+148+37=777$$卢卡斯·帕乔利采用的乘法
多倍体
卢卡斯·帕乔利的主要工作是：
乘法过程
$$23\times 12 = 276$$
该计算过程如下：
我们将行乘以列，例如，在第一行中我们有 \(1\times 2 = 02\) 和 \(1\times 3 = 03\)
同样，在第二行中我们有 \(2\times 2 = 04\) 和 \(2\times 3 = 06\)
当我们添加对角线时，我们有第一个对角线 \(0\)、第二个对角线 \(0+2+0=2\)、第三个对角线 \(3+0+4=7\) 和最后一个对角线 \(6\)
因此，我们有\(0276\)，即\(23\times 12 = 276\)
这种技术后来被称为 Gelosia，正如卢卡斯·帕乔利 (Lucas Pacioli) 所说：
另一种神秘主义？
当我们回到卢卡斯·帕乔利的例子时：
| 分解数字 | 百 | 十 | 单元 |
|---|---|---|---|
| $$20\times 10=$$ | 2 | 0 | 0 |
| $$3\times 10=$$ | 0 | 3 | 0 |
| $$20\times 2=$$ | 0 | 4 | 0 |
| $$3\times 2=$$ | 0 | 0 | 6 |
| 总计 | 2 | 7 | 6 |
视觉帕西奥利法（日本法）
为了使其更具教育意义，我们使用了几个 YouTube 视频来帮助理解 Pacioli 的方法。这里我们将使用 Luciana Fernandes 教授的视频：
我们以 \(12 \times 12\) 的乘法为例
| 12的建造 | 12x12 的构造 |
|---|---|
|
|
为了执行乘法，我们必须将百位、十位和个位的交叉点分开：
- 单位交叉点（右侧），我们总共有4个交叉点；
- 十个路口（中心），总共有 4 个路口；
- 一百个路口（左侧），我们总共有1个路口；
- 结果 144。
| 结果 |
|---|
|
重要的是观察数学符号学，而不是像宠物一样死记硬背。
训练
是时候练习了！回答一下，看看你能得到多少颗星。