三角形和圆形

三角形是几何研究中最常讨论的几何图形之一。它与圆的关系是理解各种几何结果的基础。其中一些结果称为三角形的显着点。

三角形的相似度

在比例帖子中，我们看到了三角形相似度的概念。在这里我们将证明三角形的相似性可以用圆形来证明。

**引理1：**设AB和CD是圆的不同弦，它们相交于圆内的点P。然后
$$\dfrac{AP}{CP} = \dfrac{PD}{PB} $$

**引理2：**如果顶角P的两条边与以O为圆心的圆在A点和B点相切，则$PA = PB.$

**引理3：**设P是圆C外部的一点，r是通过P在B和C处与C相切的直线，s是C在A处的切线。那么
$$\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{PA}{PC}$$

**引理4：**设P是圆C外部的一点，r是通过P在A和B点与C相割的直线，s是在C和D点与C相割的直线。然后
$$\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{PD}{PB}$$

三角形的显着点的性质通常与周长有关。在介绍这些点之前，让我们定义一些几何的基本术语，

定义 (垂直平分线)： 与两个不同点 A 和 B 等距的点的几何轨迹。

定理 1： 任何三角形的三个垂直平分线边都交于与其顶点等距（相同距离）的点，因此该点是包含三个顶点的圆的中心。

定义 (外心)： 它是您的垂直平分线之间的交汇点。

**定理2：**任何三角形的角平分线都在其内部与边等距的点处相交。以该点为中心且其半径为该公共距离的圆与各边相切。

定义 (内心)： 它是您的角平分线之间的交汇点。

定理 3： 任何三角形的（直）高都交于一点。

**定义（垂心）：**它是高地的交汇点。

**定理4：**任何三角形的中线相交于一个点，该点到任何顶点的距离等于相应中线测量值的2/3。

定义 (重心)： 给定一个三角形，其中线的交点称为质心或重心。

**定理5（欧拉直线）：**在任何三角形中，外心、垂心和重心共线。

这些是三角形和圆形上的点。等待接下来的帖子。