大约2300年前，欧多克索斯、阿基米德等人鼓励通过穷举法计算圆的面积，该方法包括在图形中外接正多边形和内接正多边形，旨在计算面积。

圆的面积 - 希腊法

首先，我们来定义一个正方形区域的面积。

**定义：**边长为$a$的正方形区域的面积为$a^2$。

fig

希腊人用尺子和圆规通过有限次数的运算验证了每个多边形区域都可以刻在一个正方形中。

高斯后来对希腊人的想法着迷，因此研究了非多边形区域的求积。他们一生的大部分时间都致力于研究磁盘上的正交。

像希波克拉底这样的希腊人发现了如何将月牙变成方形，月牙是一个圆盘的一部分，被另一个圆盘包围。下面让我们看看希腊人和后来高斯在积分研究中使用的技术。

$n$ $A_n$
$4$ $2.0000 R^2$
$8$ $2.8484 R^2$
$16$ $3.06414 R^2$
$32$ $3.1214 R^2$
$64$ $3.1363 R^2$
$128$ $3.1411 R^2$
$256$ $3.1411 R^2$
$\vdots$ $\vdots$
$\infty$ $\pi R^2$
Discretização do pi

结论

希腊人得出结论，根据欧几里得，圆的面积包含在以下值之间：

$$3.1411\dots R^2 $$

$$3.1418\dots R^2 $$

常数3.14…用数学史上非常著名的符号表示，是数学中最重要的常数之一。

长方形 三角形。

这个符号是由 William Jones 在 1706 创建的，他的灵感来自于这个数字的希腊、埃及和巴比伦起源。基本上是两根柱子上的梁。

巴比伦手稿 埃及手稿

圆的面积 - 埃及法

长方形 三角形。
剪成纸莎草纸 纸莎草纸的打开

圆的面积 - 印度法

印度方法。

圆的面积 - 日本方法

印度方法。

圆的面积-中国法

印度方法。