约翰·纳皮尔 (John Napier) 对于金融领域的应用非常重要，以至于他激励莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 涉足这一领域。无理数之一 在金融领域的应用最重要的是这两位数学家。

木板。

复利

复利和数字 $e$ 的历史归功于 (1654-1705) 之间的雅克·伯努利 (Jacques Bernoulli)，他对使用复利技术发现贷款利息的最大价值产生了兴趣。

木板。

带着初始价值积累起来的利息，他潜心研究如何让收益最大化。

伯努利是如何得出这个结论的呢？

假设采用单利，资本为 R$ 1，一年末利息为 100%。

$$ \begin{aligned} c_f &= c(1+p~.~t)\\ &= 1\left(1+\dfrac{100}{100}~.~1\right)\\ &= 1~.~(2)\\ &= R\$ ~2\\ \end{aligned} $$

在这种情况下，我们在年底赚取 2 雷亚尔。

但是，如果有人建议不使用1年，则利率与提高到同期的期间的倒数成正比。在本例中，他建议每月复利（12 月 = 1 年）。

$$ \begin{aligned} c_f &= c\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t\\ &= 1\left(1+\dfrac{1}{12}\right)^{12}\\ &= R\$ ~2,61\\ \end{aligned} $$

此人再次建议利率按日复利计算（365 天 = 1 年）。

$$ \begin{aligned} c_f &= c\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t\\ &= 1\left(1+\dfrac{1}{365}\right)^{365}\\ &= R\$ ~2,71\\ \end{aligned} $$

与第一个提案相比，赚取 0.71 美​​分似乎并不是很有优势。但如果资本为 100 雷亚尔，则 71 雷亚尔可能更有利。

木板。

伯努利意识到利息有一定的限度，似乎2.71就是这个因素。 (1707和1783)之间的数学家莱昂哈德·欧拉对伯努利得到的结果非常感兴趣。这个无理数是当时数学最伟大的革命之一。

他通过指数函数并使用连分数证明了这个数字的无理性。为了更好地说明，我们将逐步向您展示如何达到利率上限。

将年份划分为 1 期间

最初我们取：

  • 资本 $$C_0=100$$
  • 当年利息 J=100 %
  • 第一年结束 $$C_1=C_0+100=200 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2$$
时期 单利 复利
$0$ $100$ $100$
$1$ $100 \left(1+\frac{100}{100}~.~1\right)= 200\quad$ $100~.~\left(1+\frac{100}{100}\right)^1=200$

将一年划分为 2 个期间

最初我们取：

  • 资本 $$C_0=100$$
  • 学期利息 J = 50 %
  • 第一学期结束 $$C_1=C_0+50=150 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{2}\right)^1=1.5$$
  • 第二学期结束 $$C_2=C_1+75=225 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2.25$$
时期 单利 复利
0 $100$ $100$
1 $100~.~\left(1+\frac{50}{100}\right)= 150\quad$ $100~.~\left(1+\frac{50}{100}\right)^1=150$
2 $100~.~\left(1+\frac{50}{100}~.~2\right)= 200\quad$ $100~.~\left(1+\frac{50}{100}\right)^2=225$

将一年划分为 3 个期间

最初我们取：

  • 资本 $$C_0=100$$
  • 该季度的利息 J = 25 %
  • 第一季度末 $$C_1=C_0+25=125 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^1=1.25$$
  • 第二季度末 $$C_2=C_1+31.25=156.25 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^2=1.5625$$
  • 第三季度末 $$C_3=C_2+39.06=195.31 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^3=1.9531$$
  • 第四季度末 $$C_4=C_3+48.83=244.14 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^4=2.4414$$
时期 单利 复利
0 $100$ $100$
1 $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)= 125\quad$ $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^1=125$
2 $100~.~\left(1+\frac{25}{100}~.~2\right)= 150\quad$ $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^2=156.25$
3 $100~.~\left(1+\frac{25}{100}~.~3\right)= 175\quad$ $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^3=195.31$
4 $100~.~\left(1+\frac{25}{100}~.~4\right)= 200\quad$ $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^4=244.1406$
木板。

将一年分为n个时期

第 n 期的修正资本由下式给出： 三角形相似度。

木板。

n 个周期的限制

我们知道，即使对于任何 n 个周期，我们也必须有一个限制。莱昂哈德·欧拉意识到了这一点并定义了普适常数，他称之为 e 由欧拉提出，但以约翰·纳皮尔的名字命名。为此，我们采取：

$$f(n) = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

我们注意到：

$$ \begin{aligned} f(1) &= \left(1+\frac{1}{1}\right)^1 = 2 \\ f(10) &= \left(1+\frac{1}{10}\right)^{10} = 2,5937\dots \\ f(100) &= \left(1+\frac{1}{100}\right)^{100} = 2,7048\dots \\ f(1000) &= \left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000} = 2,7169\dots \\ f(10000) &= \left(1+\frac{1}{10000}\right)^{10000} = 2,7181\dots \\ f(100000) &= \left(1+\frac{1}{100000}\right)^{100000} = 2,7181\dots \\ \end{aligned} $$

因此，更一般地说：

限制 e. 木板。

欧拉数

当值大学生可以在微积分 I 中识别这个结果。

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$$
木板。

欧拉也扩展到级数：

$$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2~.~1} + \frac{1}{3~.~2~.~1} + \frac{1}{4~.~3~.~2~.~1} + \frac{1}{5~.~4~.~3~.~2~.~1} + \dots$$
木板。

简而言之，我们有

$$\text{Euler Napier}\qquad \left(1+\frac{1}{\infty}\right)^\infty = e$$

出于对复数的好奇，欧拉发现了这种关系。

木板。

到目前为止，这就是我们可以谈论的复利。等待接下来的帖子。