Euler's Eyes
2022-08-19
兒童數學
第 6 页，共 6 页
帕斯卡三角
在上一篇文章中，我们谈到了著名的产品。在这里，我们将用帕斯卡三角形扩展卓越产品的概念。帕斯卡三角形是一个整数三角形，其中每个数字是它上面的两个数字的总和。帕斯卡三角形是计算二项式系数的非常有用的工具。
除了他的杰作，帕斯卡三角, Blaise Pascal 是当前计算的先驱之一，因为机器 La Pascaline 用他的机械计算器彻底改变了时代。在其中我们可以快速执行加法和减法计算。他这样做是为了分散注意力，因为他的工作是收税员。
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Traite du triangle arithmetique (1654 - 1754)
“我所知道的是，我会死，什么我忽略这是我无法避免的死亡。”
| 布莱斯·帕斯卡 | 帕斯卡的墓碑 |
|---|---|
|
|
在这里，我们将根据几位翻译和改编的作者的结果构建帕斯卡三角形，以了解帕斯卡林哲学的范围。
“而算术三角形的设计就是构造图……”
$$
\begin{array}{ccccc}
1 & & & & \\
1 & 1 & & & \\
1 & 2 & 1 & & \\
1 & 3 & 3 & 1 & \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{ccccc}
1 & & & & \\
1 & 1 & & & \\
1 & 2 & 1 & & \\
1 & 3 & 3 & 1 & \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
\end{array}
$$
他是怎麼得出這個結果的？
| n | Coeficientes |
|---|---|
| 1 | $1 \quad 1$ |
| 2 | $1 \quad \overbrace{2}^{1+1} \quad 1 $ |
| 3 | $1 \quad \overbrace{3}^{1+2} \quad \overbrace{3}^{2+1}\quad 1 $ |
| 4 | $1 \quad \overbrace{4}^{1+3} \quad \overbrace{6}^{3+3} \quad \overbrace{4}^{3+1}\quad 1 $ |
| $\vdots$ | $\vdots$ |
卓越的产品比较和帕斯卡三角
接下来，我们将观察到值得注意的产品是帕斯卡三角形的一个特例。
| 卓越的产品 | 帕斯卡三角 | 结果 |
|---|---|---|
| $(a+b)$ | $1 \quad 1 \quad \quad \quad $ | $1a + 1b$ |
| $(a+b)^2$ | $1 \quad 2 \quad 1 \quad \quad $ | $1a^2+ 2ab + 1b^2$ |
| $(a+b)^3$ | $1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \quad $ | $1a^3+ 3 a^2b+ 3 ab^2 + 1b^3$ |
| $(a+b)^4$ | $1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$ | $1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b4$ |
歷史資料 - 帕斯卡三角
| 羅馬 |
|---|
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| 歐洲 |
|---|
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| 阿拉伯 |
|---|
|
在多項式中的應用
$$f(x)= (1+x)^n$$
$$
\begin{aligned}
n = 0 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 \\
n = 1 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + x\\
n = 2 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + 2x + x^2\\
n = 3 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + 3x + 3x^2 + x^3\\
n = 4 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4\\
\qquad\vdots \qquad& \qquad\vdots\qquad\\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{array}{ccccc}
1 & & & & \\
1 & 1 & & & \\
1 & 2 & 1 & & \\
1 & 3 & 3 & 1 & \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
\end{array}
$$
“公雞第一次打鳴！”
醉漢的腳步
做一個酒吧，一個酒鬼，你的房子，n個步驟和一個意圖……
為了說明這個 Pascal 示例，請注意：
$$
\begin{aligned}
n = 1 \qquad &\Rightarrow \qquad S + F\\
n = 2 \qquad &\Rightarrow \qquad SS + SF + FS + FF\\
n = 3 \qquad &\Rightarrow SSS + SSf +SFS + FSS + SFF +FSF +FFS +FFF\\
\qquad\vdots \qquad& \qquad\vdots\qquad\\
n = 1 \qquad &\Rightarrow \qquad S + F\\
n = 2 \qquad &\Rightarrow \qquad S^2 + 2SF + F^2\\
n = 3 \qquad &\Rightarrow S^3 + 3S^2f +3SF^2 +F^3\\
\qquad\vdots \qquad& \qquad\vdots\qquad\\
\end{aligned}
$$
“公雞第二次打鳴！”