Euler's Eyes
2022-08-17
整数的增强
括号改变基数
将 (−2)² 与 −2² 进行比较。然后将指数更改为3。在这两种情况下，减号都属于基数吗？
Em telas pequenas, deslize o gráfico na horizontal para ler os detalhes.
为什么结果可能不同？
- (−2)² 的底数为−2: (−2) × (−2) = 4。
- −2² 表示 2² 的相反数。
- 首先2×2=4；然后我们取它的相反数-4。
- 因此，(−2)² = 4 且 −2² = −4。
公元前470左右的希俄斯的希波克拉底是第一个提到增效在几何中应用的人，这也是欧几里得《几何原本》一书创作的动机。在他的系列中，他将主题称为“dynamis”，意思是力量。
使用动力进行的最重要的计算是由锡拉丘兹的阿基米德在公元前 287 左右进行的。它的应用是在物理学领域，当时用于工程领域。
增强作用的初步概念
在数学史上，学者被称为（exacuo）。当时已知的其他术语还有自然（phýsis）和进化（徽标）。这样，我们就得到了项的推导：
- Exactum 等同于 Invention
- Exactus 相当于 Perfect
要了解数学的演变，我们必须观察数学的主要历史主题。
- 年 0 至 1637 - 绘图性质；
- 年 1637 到 1830 - 解码性质；
- 年 1830 至 1890 - 模仿和设计自然；
- 年 1890 至 1980 - 控制性质；
- 1980 年至今 - 创造自然。
| 雷内 | 笛卡尔 |
|---|---|
|
|
早在中世纪，哲学家勒内·笛卡尔（René Descartes）在 1596 左右就通过他在 1637 中的著作《几何》巩固了这些增强的概念。
指数
如前所述，指数的概念始于阿基米德，他在研究体积时获得了非常非常大的数字。从此开始用10次方来表示这类数字。
定义： 底数上方的数字称为指数。
阿基米德为此设计的主要研究是沙粒计数器。
示例：沙粒计数器的底座为10。
Ampliar figura para ler os detalhes
幂的底数可以是任何数字，但在本文中我们将使用整数：
$$\mathbb{Z} = \\{\dots, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \dots\\}$$10 的力量
例如，让我们输入 10 次方的数字。
| 10 的力量 | 平等的 | 10 的多重表示 |
|---|---|---|
| $10^1$ | $=$ | 10 |
| $10^2$ | $=$ | 100 |
| $10^3$ | $=$ | 1000 |
| $10^4$ | $=$ | 10000 |
| $10^5$ | $=$ | 100000 |
| $10^6$ | $=$ | 1000000 |
| $10^7$ | $=$ | 10000000 |
| $10^8$ | $=$ | 100000000 |
| $10^9$ | $=$ | 1000000000 |
| $10^{10}$ | $=$ | 10000000000 |
| $10^{11}$ | $=$ | 100000000000 |
| $10^{12}$ | $=$ | 1000000000000 |
使用增强的主要动机是阿基米德使用的。对于这种表示，阿基米德将其称为沙粒计数器。
他是如何得出这个结论的呢？
沙粒计数器：填充一个半径等于地球和太阳之间距离的球体所需的沙粒数量约为 $10^{51}$（好主意）😂😂😂。这些数字按照直到10000的顺序写入，称为无数。
在阿基米德的计数系统中，数字可达无数（$10000 = 10^4$）。
- 编号系统高达无数（$10000^2 = 10^8$）。
因此，对于沙粒计数器来说，他需要一个大于$10^8$的编号系统。所以，我们检查了这个想法。
- 无数无数
- $10000 ~.~ 10000 = 10^8$
- 沙粒计数器
- $10^3 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 = 10^{51}$
那么，您是如何扩展这条规则的呢？
我们观察如下：
| 10 的力量 | 平等的 | 10 的多重表示 |
|---|---|---|
| $10$ | $=$ | $10$ |
| $10^2$ | $=$ | $10 ~.~10 = 10^{1+1} = 10^2$ |
| $10^3$ | $=$ | $10 ~.~10 ~.~10 = 10^{1+1+1} = 10^3$ |
| $ \vdots $ | $=$ | $ \vdots $ |
| $10^n$ | $=$ | $10 ~.~\dots~.~10 = 10^n$ |
一般来说：
2 的力量
有了10的功率概念，我们现在可以讨论基本功率2。
| 2 的力量 | 平等的 | 2 的多重表示 | $=$ | 指数 | 结果 |
|---|---|---|---|---|---|
| $2^1$ | $=$ | $2$ | $=$ | $2^1$ | $2$ |
| $2^2$ | $=$ | $2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1} =2^1~.~2^1$ | $4$ |
| $2^3$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1} = 2^2~.~2$ | $8$ |
| $2^4$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1}= 2^2~.~2^2=4~.~4$ | $16$ |
| $2^5$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1}= 2^4~.~2$ | $32$ |
| $2^6$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1+1} = 2^3~.~2^3 = 8~.~8$ | $64$ |
| $2^7$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1+1+1} = 2^6~.~2$ | $128$ |
| $2^8$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1+1+1+1}= 2^4~.~2^4 = 16 ~.~16$ | $256$ |
| $2^9$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1+1+1+1+1} = 2^8~.~2$ | $512$ |
| $2^{10}$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1+1+1+1+1+1}=2^5~.~2^5 = 32~.~32$ | $1024$ |
3 的力量
有了10的功率概念，我们现在可以讨论基本功率3。
| 3 的力量 | 平等的 | 3 的多重表示 | $=$ | 指数 | 结果 |
|---|---|---|---|---|---|
| $3^1$ | $=$ | $3$ | $=$ | $3^1$ | $3$ |
| $3^3$ | $=$ | $3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1} =3^1~.~3^1$ | $9$ |
| $3^3$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1} = 3^2~.~3$ | $27$ |
| $3^4$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1}= 3^2~.~3^2=9~.~9$ | $81$ |
| $3^5$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1}= 3^4~.~3$ | $243$ |
| $3^6$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1+1} = 3^3~.~3^3 = 27~.~27$ | $729$ |
| $3^7$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1+1+1} = 3^6~.~3$ | $2187$ |
| $3^8$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1+1+1+1}= 3^4~.~3^4 = 81 ~.~81$ | $6561$ |
| $3^9$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1+1+1+1+1} = 3^8~.~3$ | $19683$ |
| $3^{10}$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1+1+1+1+1+1}=3^5~.~3^5=243~.~243$ | $59049$ |
一般情况
有了前面几节给出的一些案例，我们可以扩展到这个案例。 Seka $k$ 是整数 $(k \in \mathbb{Z})$，$n$ 是自然数 $(n\in \mathbb{N})$ 的指数。
| $k$ 的力量 | 号码组 |
|---|---|
| $k^n$ | $k \in \mathbb{Z}, \quad n\in \mathbb{N}$ |
示例
为了建立概念，我们取 $k\in \mathbb{Z}$ 一个整数和 $n\in \mathbb{N}$ 一个自然数。
| $k\in \mathbb{Z}$ 整数 | 动力装置 |
|---|---|
| $-6$ | $(-6)^n=\\{(-6)^1, (-6)^2, (-6)^3, (-6)^4, \dots\\} $ |
| $-5$ | $(-5)^n=\\{(-5)^1, (-5)^2, (-5)^3, (-5)^4, \dots\\} $ |
| $-4$ | $(-4)^n=\\{(-4)^1, (-4)^2, (-4)^3, (-4)^4, \dots\\} $ |
| $-3$ | $(-3)^n=\\{(-3)^1, (-3)^2, (-3)^3, (-3)^4, \dots\\} $ |
| $-2$ | $(-2)^n=\\{(-2)^1, (-2)^2, (-2)^3, (-2)^4, \dots\\} $ |
| $-1$ | $(-1)^n=\\{(-1)^1, (-1)^2, (-1)^3, (-1)^4, \dots\\} $ |
| $1$ | $1^n=\\{1^1, 1^2, 1^3, 1^4, \dots\\} $ |
| $2$ | $2^n=\\{2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots\\} $ |
| $3$ | $3^n=\\{3^1, 3^2, 3^3, 3^4, \dots\\} $ |
| $4$ | $4^n=\\{4^1, 4^2, 4^3, 4^4, \dots\\} $ |
| $5$ | $5^n=\\{5^1, 5^2, 5^3, 5^4, \dots\\} $ |
| $6$ | $6^n=\\{6^1, 6^2, 6^3, 6^4, \dots\\} $ |
权力有一些属性。但是，我们将其留到以后，因为我们首先需要符号规则。