Geometria Plana — livro interativo

Exercícios do capítulo 7 — Quadriláteros notáveis

Exercícios e resoluções 224 Determine o valor de $x$ nos casos: Ver respostaa) $x = 120^{\circ}$ · b) $x = 75^{\circ}$ 225 Determine os ângulos do quadrilátero $ABCD$ nos casos: Ver respostaa) $130^{\circ}$, $70^{\circ}$, $95^{\circ}$, $65^{\circ}$ · b) $55^{\circ}$, $105^{\circ}$, $70^{\circ}$, $130^{\circ}$ 226 Determine o valor de $x$ nos casos: a) $PA = PB$; b) $AB = AD$ e $CB = CD$. Ver respostaa) $x = 35^{\circ}$ · b) $x = 70^{\circ}$

October 11, 2026 Iniciar leitura

Consequências — bases médias

Ligue os pontos médios de dois lados de um triângulo: o segmento é paralelo ao terceiro lado e mede a metade dele. Quem descobriu O teorema da base média é um caso particular da proposição VI.2 dos Elementos de Euclides: uma reta paralela a um lado de um triângulo divide os outros dois lados na mesma proporção. Uma consequência bonita tem autor conhecido: o francês Pierre Varignon (1654–1722) mostrou que, ligando os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero, obtém-se sempre um paralelogramo. O resultado foi publicado depois de sua morte, em 1731.

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Retângulo, losango e quadrado

As diagonais contam muito sobre um quadrilátero. No retângulo, elas são iguais; no losango, perpendiculares; no quadrado, as duas coisas. Quem descobriu O documento mais famoso sobre a diagonal do quadrado é a tábua babilônica YBC 7289, de cerca de 1800–1600 a.C., hoje na Universidade Yale. Ela mostra um quadrado com as diagonais e um valor de $\sqrt{2}$ com erro menor que um milionésimo. As propriedades das diagonais do retângulo e do losango seguem dos teoremas sobre paralelogramos dos Elementos de Euclides.

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Propriedades dos paralelogramos

Lados opostos iguais, ângulos opostos iguais, diagonais que se cortam ao meio. O paralelogramo é a figura das forças e dos mecanismos articulados. Quem descobriu As primeiras propriedades estão na proposição I.34 dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): num paralelogramo, os lados e os ângulos opostos são iguais, e a diagonal o divide em duas partes de mesma área. Fora da geometria, o paralelogramo ganhou fama com a regra do paralelogramo das forças, usada pelo flamengo Simon Stevin (1586) e enunciada por Isaac Newton nos Principia (1687): duas forças que agem num ponto equivalem à diagonal do paralelogramo formado por elas.

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Propriedades dos trapézios

O trapézio tem um par de lados paralelos — e é a forma escondida em muitas rampas, telhados e bolsas. Quem descobriu O sentido moderno da palavra vem de Posidônio (século I a.C.) e de Proclo (século V d.C.): este registra que Posidônio separava os quadriláteros com um par de lados paralelos dos que não tinham nenhum. Para Euclides, trapézio era qualquer quadrilátero que não fosse quadrado, retângulo, losango ou paralelogramo. A área do trapézio — a média das bases vezes a altura — aparece nas obras de Heron de Alexandria (século I d.C.).

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Quadriláteros notáveis — definições

Trapézio, paralelogramo, retângulo, losango e quadrado. Os nomes são antigos, mas o que cada um significa mudou ao longo dos séculos. Quem descobriu Os quadrados e retângulos já aparecem em tábuas babilônicas e em problemas egípcios de área. As definições vieram de Euclides (definição I.22 dos Elementos), que distinguia quadrado, oblongo, rombo e romboide e chamava de trapézios todos os outros quadriláteros. A palavra paralelogramo aparece pela primeira vez na proposição I.34 de Euclides. A classificação inclusiva usada hoje, em que todo quadrado é retângulo, foi adotada no fim do século XIX, como conta a curiosidade “As definições mudaram com o tempo”, mais abaixo.

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Quadrilátero — definição e elementos

Quatro lados, quatro vértices, duas diagonais. Os quadriláteros estão em lotes, telas, mesas e janelas. Quem descobriu Calcular a área de terrenos de quatro lados era tarefa dos escribas do Egito e da Mesopotâmia. Inscrições do templo de Edfu, no Egito (século II a.C.), registram uma regra para a área de um terreno de quatro lados: multiplicar a média de dois lados opostos pela média dos outros dois. A regra só é exata para retângulos e superestima a área nos outros casos. A definição geométrica — figura limitada por quatro retas — é de Euclides (definição I.19 dos Elementos).

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Exercícios do capítulo 6 — Perpendicularidade

Exercícios e resoluções 189 Se $\overline{AH}$ é altura relativa ao lado $\overline{BC}$ do $\triangle ABC$, determine $\hat{B}$ e $\hat{C}$ nos casos: Ver respostaa) $\hat{B} = 70^{\circ}$ e $\hat{C} = 40^{\circ}$ · b) $\hat{B} = 60^{\circ}$ e $\hat{C} = 40^{\circ}$ 190 Em cada caso abaixo temos um triângulo isósceles de base $\overline{BC}$. Determine o ângulo da base. Ver respostaa) $65^{\circ}$ · b) $61^{\circ}$

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Projeções e distância

A sombra de um objeto com o Sol a pino é uma projeção ortogonal. Engenheiros transformaram essa ideia num método de desenho usado até hoje. Quem descobriu A ideia de projetar figuras sobre um plano é antiga — os relógios de sol já leem a sombra projetada do gnômon. Quem a transformou em método foi o francês Gaspard Monge (1746–1818), criador da geometria descritiva. Monge representava objetos por suas projeções ortogonais em dois planos perpendiculares, a planta e a elevação, e assim resolvia problemas de construção no papel. A distância de um ponto a uma reta como o comprimento da perpendicular é resultado clássico dos Elementos de Euclides.

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Existência e unicidade da perpendicular

De um ponto fora de uma reta, como baixar uma perpendicular até ela? Este é um dos poucos problemas antigos com um nome de autor registrado. Quem descobriu Proclo atribui a Enópides de Quios (século V a.C.) o primeiro estudo do problema de traçar uma perpendicular a uma reta por um ponto fora dela; Enópides chamava essa reta de “gnomônica”, em referência ao gnômon, a haste vertical dos relógios de sol. As soluções clássicas estão nos Elementos de Euclides: a proposição I.11 levanta a perpendicular por um ponto da reta, e a I.12 a baixa por um ponto fora dela.

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Definições — ângulo reto

Paredes, esquadros, folhas de papel: o mundo construído está cheio de ângulos retos. Quem descobriu O ângulo reto foi usado na prática por egípcios, babilônios, indianos e chineses muito antes de ter definição. A tábua babilônica Plimpton 322 (c. 1800 a.C.) lista ternos de números que formam triângulos retângulos, como 45, 60 e 75 — o triângulo 3-4-5 ampliado 15 vezes —, e o texto chinês Zhoubi Suanjing traz uma figura famosa sobre o triângulo 3-4-5. A definição rigorosa é de Euclides (definição I.10): quando uma reta encontra outra formando ângulos adjacentes iguais, cada um deles é reto, e a reta é perpendicular à outra.

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Leitura: O quinto postulado

Leitura complementar Leitura O quinto postulado O postulado das paralelas é o quinto postulado dos Elementos. Desde a Antiguidade, muitos matemáticos desconfiaram dele: parecia mais um teorema do que uma verdade evidente, e várias gerações tentaram demonstrá-lo a partir dos outros quatro. Todas as tentativas falharam — e no século XIX, Gauss, Bolyai e Lobachevsky perceberam por quê: trocando o quinto postulado por “por um ponto passam várias paralelas”, obtém-se uma geometria tão consistente quanto a de Euclides, a geometria hiperbólica. Nela, a soma dos ângulos de um triângulo é menor que 180°. O postulado de Euclides não é uma necessidade lógica; é uma escolha que define a geometria do nosso dia a dia. Carl Friedrich Gauss.Christian Albrecht Jensen (1792–1870) · Wikimedia Commons · Domínio público János Bolyai, retrato imaginário por Ferenc Márkos (2012).Ferenc Márkos · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 Nikolai Lobachevsky, retrato por Lev Kryukov.Lev Kryukov · Wikimedia Commons · Domínio público Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.Rafael Sanzio · Wikimedia Commons · Domínio público

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