Geometria Plana — livro interativo

Leitura: Legendre: por uma geometria rigorosa e didática

Leitura complementar Leitura Legendre: por uma geometria rigorosa e didática Na Grécia antiga, axioma parecia significar uma verdade comum a todos os campos de estudo, e postulado, uma verdade de um campo específico. Euclides assumiu cinco postulados — entre eles, que de qualquer ponto se traça uma reta a qualquer outro, que toda reta limitada se prolonga, que com qualquer centro e raio se traça um círculo, que os ângulos retos são iguais, e o famoso quinto, o das paralelas — e cinco axiomas, como “coisas iguais a uma mesma coisa são iguais entre si” e “o todo é maior que a parte”. A partir daí, os Elementos desfiam teoremas sem exercícios nem aplicações: um texto pouco didático pelos padrões modernos. Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.Rafael Sanzio · Wikimedia Commons · Domínio público Na França do século XVIII surgiram vários livros para tornar Euclides mais acessível, mas muitos sacrificavam o rigor. Uma exceção notável foram os Elementos de Geometria de Adrien-Marie Legendre (1752–1833). Legendre brilhou na pesquisa — em funções elípticas e na teoria dos números, em que enunciou por completo a lei da reciprocidade quadrática — e seu livro de geometria, que conciliava rigor e didática, teve vinte edições na França ainda em vida do autor. Em 1809 foi traduzido no Rio de Janeiro e adotado na Academia Real Militar, criada no ano seguinte. Por cerca de quarenta anos, Legendre tentou provar o quinto postulado a partir dos outros — tarefa impossível, como hoje se sabe —, mas mesmo nessas tentativas mostrou grande engenhosidade. Adrien-Marie Legendre, caricatura por Julien-Léopold Boilly.Julien-Léopold Boilly · Wikimedia Commons · Domínio público

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Exercícios do capítulo 12 — Teorema de Tales

Exercícios e resoluções 413 Determine o valor de $x$ em cada caso abaixo, sendo $r$, $s$ e $t$ retas paralelas. Ver respostaa) 3 · b) 12 · c) 15 · d) 6 414 Nas figuras, as retas $r$, $s$ e $t$ são paralelas. Determine os valores de $x$ e $y$. Ver respostaa) $x = \dfrac{10}{3}$ · b) $x = \dfrac{25}{6}$ · c) $x = \dfrac{10}{3}$ e $y = \dfrac{18}{5}$

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Teoremas das bissetrizes

A bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em partes proporcionais aos outros dois lados. Quem descobriu O teorema da bissetriz interna é a proposição VI.3 dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.). O da bissetriz externa não está no texto grego: foi acrescentado como “proposição A” do livro VI pelo escocês Robert Simson, em sua edição dos Elementos de 1756, que serviu de base para o ensino de geometria no Reino Unido por mais de um século. As duas bissetrizes estão ligadas ao círculo de Apolônio, estudado por Apolônio de Perga (século III a.C.).

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Teorema de Tales

Um feixe de retas paralelas corta duas transversais em partes proporcionais. É com essa ideia que se divide uma tábua em partes iguais sem fazer contas. Quem descobriu O resultado leva o nome de Tales de Mileto (século VI a.C.), associado pela tradição à medição da altura da Grande Pirâmide pelas sombras (veja a curiosidade sobre ele na abertura do capítulo). A demonstração que conhecemos é de Euclides, na proposição VI.2 dos Elementos (c. 300 a.C.), e usa áreas de triângulos. O nome “teorema de Tales” para esse resultado é uma tradição de países como Brasil, Portugal, França, Espanha e Itália; em alemão e em inglês, o mesmo nome se refere ao ângulo inscrito na semicircunferência.

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Exercícios do capítulo 11 — Ângulos na circunferência

Exercícios e resoluções 377 Determine o valor do ângulo $x$ nos casos: Ver respostaa) $35^{\circ}$ · b) $100^{\circ}$ · c) $60^{\circ}$ · d) $25^{\circ}$ · e) $50^{\circ}$ · f) $20^{\circ}$ 378 Determine o valor do arco $x$ nos casos: Ver respostaa) $80^{\circ}$ · b) $30^{\circ}$ · c) $60^{\circ}$ 379 Nas figuras, calcule o valor de $x$. Ver respostaa) $35^{\circ}$ · b) $10^{\circ}$

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Ângulos excêntricos

Quando o vértice do ângulo está dentro ou fora da circunferência, mas não no centro nem sobre ela, o ângulo é excêntrico — e sua medida é uma média de dois arcos. Quem descobriu As fórmulas dos ângulos excêntricos não estão enunciadas nos Elementos, mas saem diretamente da proposição III.20 de Euclides (ângulo inscrito) combinada com a I.32 (ângulo externo de um triângulo). Um dos problemas mais famosos ligados a elas tem autor: em 1471, o astrônomo alemão Regiomontanus perguntou de que distância uma estátua no alto de um pedestal é vista sob o maior ângulo possível.

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Ângulo de segmento (semi-inscrito)

O ângulo entre uma corda e a tangente também mede a metade do arco. Daí vem o arco capaz, usado por navegadores para fugir de rochedos. Quem descobriu A medida do ângulo de segmento é a proposição III.32 dos Elementos de Euclides, e a construção do arco capaz — o lugar dos pontos de onde um segmento é visto sob um ângulo dado — é a III.33. O uso prático mais conhecido tem dois nomes: o holandês Willebrord Snellius (1617) e o francês Laurent Pothenot (1692) resolveram o problema de descobrir a própria posição a partir dos ângulos sob os quais se veem três pontos conhecidos, cruzando dois arcos capazes.

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Ângulo inscrito

O ângulo inscrito mede a metade do arco que ele enxerga. Um caso especial — o ângulo inscrito na semicircunferência é reto — é atribuído a Tales. Quem descobriu A tradição grega atribui a Tales de Mileto (século VI a.C.) a descoberta de que todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. Diógenes Laércio conta, citando a escritora Pânfila, que Tales sacrificou um boi para celebrar o resultado. A relação geral — o ângulo central é o dobro do inscrito sobre o mesmo arco — é a proposição III.20 dos Elementos de Euclides, e o caso da semicircunferência é a III.31.

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Ângulo central

O ângulo central tem o vértice no centro da circunferência e mede o mesmo que o arco que ele enxerga. Com essa ideia, mediu-se o tamanho da Terra. Quem descobriu A relação entre ângulo central e arco é a base da proposição III.26 dos Elementos de Euclides: em circunferências iguais, ângulos centrais iguais correspondem a arcos iguais. O uso mais famoso dela é de Eratóstenes de Cirene (c. 276–194 a.C.), diretor da Biblioteca de Alexandria, que calculou a circunferência da Terra a partir de um ângulo central.

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Congruência, adição e desigualdade de arcos

Medir um arco em graus é tão natural hoje que esquecemos de onde veio: da observação do céu. Quem descobriu Os astrônomos babilônios dividiam o caminho do Sol no céu em 12 signos de 30 partes, total de 360. O grego Hiparco de Niceia (século II a.C.) levou essa medida para a geometria e montou a primeira tabela de cordas conhecida, que relacionava cada arco à corda correspondente — o começo da trigonometria. Cláudio Ptolomeu ampliou a tabela no Almagesto (c. 150 d.C.), com cordas de meio em meio grau. A comparação e a soma de arcos de uma mesma circunferência seguem o livro III dos Elementos de Euclides.

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Exercícios do capítulo 10 — Circunferência e círculo

Exercícios e resoluções 336 Determine o raio do círculo de centro $O$, dados $AB = 3x - 3$ e $OA = x + 3$. Ver resposta$r = 12$ 337 A circunferência tem raio de 16 cm e o ponto $P$ dista 7 cm do centro. Determine a distância entre $P$ e a circunferência. Ver resposta9 cm 338 Determine o valor de $x$ nos casos: a) $s$ é perpendicular a $\overline{AB}$; b) $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$ são tangentes à circunferência. Ver respostaa) $x = 6$ · b) $x = 9$

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Segmentos tangentes — quadriláteros circunscritíveis

De um ponto fora de uma circunferência saem duas tangentes, e os dois segmentos até os pontos de contato têm o mesmo comprimento. Quem descobriu A igualdade dos segmentos tangentes é consequência direta da proposição III.17 dos Elementos de Euclides, que ensina a traçar a tangente por um ponto exterior. Dela sai o teorema de Pitot: num quadrilátero que tem uma circunferência inscrita, as somas dos lados opostos são iguais. O engenheiro francês Henri Pitot o publicou em 1725 (veja a curiosidade sobre ele mais abaixo). A recíproca — se as somas dos lados opostos são iguais, o quadrilátero admite circunferência inscrita — foi provada no século XIX e costuma ser atribuída a Jakob Steiner.

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