平面幾何学 — インタラクティブな本

章 16 — 正多角形

16 第16章 · この章で学ぶこと正多角形正多角形を認識し、それらが内接可能および外接可能であることを証明します。中心、辺心距離、および中心角を特定します。正方形、六角形、正三角形の辺と辺心距離を半径の関数として計算します。正十角形と五角形の辺を求めて黄金線分を認識します。六角ナット、ハニカム、一時停止の標識、時計の歯車など、正多角形では、中心の周りに同じピースを繰り返す必要があります。この章では、すべての正多角形が同じ中心を持つ 2 つの円の間に正確に収まることを証明し、その辺と半径から辺心距離を計算します。この計算は、ほぼ 2000 年前に最初の三角関数表を作成するために使用されました。ハニカム：正六角形を隙間なく貼り合わせたもの。六角ナットとネジ頭。 I. 概念と特性円を等分すると正多角形ができます。逆も当てはまります。すべての正多角形には、すべての頂点を通過する円と、すべての辺に接する円があります。発見者正多角形の内接と外接は、ユークリッド (紀元前 300 頃) の原論の書 IV の主題です。彼は定規とコンパスを使って正三角形、正方形、五角形を構築します (命題) IV.11)、六角形 (IV.15)、および 15 辺の多角形 (IV.16)。二千年の間、カール・フリードリヒ・ガウスが1796 で正17 辺多角形を構築し、1801 でどのような正多角形が構築できるかを示すまで、これを超える人はいませんでした。 1837 ではピエール・ヴァンツェルが他のものは不可能であることを証明しました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインカール・フリードリヒ・ガウス。Christian Albrecht Jensen (1792–1870) · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史ガウスとヴァンツェルの結果によると、$n$ が 2 のべき乗にさまざまなフェルマー素数 (3、5、17 など、$2^{2^k} + 1$ の形式の素数) を掛けたものである場合に、$n$ の辺を持つ正多角形を直定規とコンパスで正確に作成できることがわかります。 257 と 65 537。そのため、七角形 (7 辺) と九角形 (9 辺) は構築できませんが、257 辺を持つ多角形は構築できます。フリードリヒリシュローは 1832 でその構築を発表しました。

October 12, 2026 読んだ

15 章の演習 — 任意の三角形

正弦の法則 624 $\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$ と $\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$ がわかっているので、以下を決定します。 a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$; b) $\cos 150^{\circ}$; c) $\cos 135^{\circ}$; d) $\operatorname{sen}150^{\circ}$; e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$; f) $\cos 120^{\circ}$。解答を見るa) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · b) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · c) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · d) $\dfrac{1}{2}$ · e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · f) $-\dfrac{1}{2}$ 625 以下の場合の$x$の値を求めます。解答を見るa) $6\sqrt{2}$ · b) $6\sqrt{6}$ 626 次の場合の三角形に外接する円の半径を求めます。解答を見るa) $4\sqrt{3}$ · b) $9\sqrt{2}$ 627 次の場合の $x$ の値を取得します。 a) $ABCD$ が平行四辺形である。 b) $ABCD$ は等脚台形です。解答を見るa) $6\sqrt{2}$ · b) $12\sqrt{2}$

October 12, 2026 読んだ

注目行の計算

中央値、高さ、角の二等分線は 3 辺からのみ計算できます。すべての公式は計量関係から生まれます。そして、スチュワートの単一の関係がそれらをすべて一度に解決します。発見者中央値の公式はアポロニウスの定理として知られており、アレクサンドリアのパポはこの定理をペルガのアポロニウス (紀元前3世紀) によるものであるとしています。高さの公式は、三角形の面積を辺の関数として表すサギの公式を使用しており、1 世紀にアレクサンドリアのサギがメートル法で実証しました（アラブ人はこれをアルキメデスの作としました）。頂点を反対側に接続する線分に成り立つ関係は、スコットランド人のマシュー・スチュワートによって 1746 の書籍数学の高等部分でかなり使用される一般定理の中で発表されました。ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。ジョバンニ・バッティスタのメモ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインアレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインアルキメデス、後の芸術的表現。ドメニコ・フェティ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインマシュー・スチュワート。作者不明作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史スチュワート (1717 – 1785) はグラスゴーでロバートシムソン、エディンバラでコリンマクローリンの学生であり、マクローリンの後任として数学教授として就任しました。彼は、太陽までの距離の計算などの天文学的な問題に対しても、ギリシャ風に純粋に幾何学的な方法を提唱しました。ロバート・シムソン。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインコリン・マクローリン。David Steuart Erskine (1742–1829) · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン頂点と反対側の点を結ぶ線分は、今日ではイタリアのジョバンニチェヴァ (1678) にちなんでチェヴィアーナと呼ばれています。中央値、身長、および角の二等分線は特定の Cevian であるため、スチュワートの関係式によりそれらすべての式が得られます。

October 12, 2026 読んだ

計量関係とコサイン定理

ピタゴラスの定理には角度が正しくない場合の修正項があります。この用語は余弦の法則です。発見者このトピックの計量関係は、ユークリッド (紀元前 300 頃) の原論にあります。地域言語では、命題 II.12 は鈍角の反対側を扱い、II.13、鋭角の反対側。コサイン形式 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ は、三角関数表とともにずっと後に登場しました。ペルシャの天文学者ジャムシード・アル＝カシは、1427 の算術の鍵でそれを発表しました。フランスでは、余弦の法則は今でもテオレム・ダル・カシと呼ばれています。フランソワ・ヴィエットは1593にコサインを付けて書きました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインフランソワ・ヴィエテ。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史ユークリッドには長さを表すコサインや数値はありませんでした。同氏は、鈍角の反対側の辺の正方形は、他の2辺の正方形の合計よりも、一方の辺と他方の辺の投影によって形成される「長方形の2倍」大きいと述べた。このトピックと同じ関係で、領域で書かれています。 $a^2$ と $b^2 + c^2$ を比較すると、簡単なテストが行われます。3 つの辺を知るだけで、三角形が鋭角か直角か鈍角かがわかります。日常生活での応用航海。 10 km 進み、40° 回転してさらに 6 km 進むボートは、余弦の法則によって計算される港からの距離です。ロボット工学。 2 セグメントのロボットアームの関節角度は余弦の法則によって計算されます。地形土地の 2 つの辺とそれらの間の角度を測定すると、3 番目の辺は余弦の法則から外れます。スポーツアナリストは、2 人のプレーヤーと 3 人目のプレーヤーの間の距離とそれらの間の角度に基づいてパスの距離を計算します。出典: 要素、命題 II.12 · 要素、命題 II.13 · Al-Kashi (MacTutor)。

October 12, 2026 読んだ

サイン定理

どの三角形でも、各辺を反対角の正弦で割ると、常に同じ数値、つまり外接円の直径が得られます。発見者サインの法則は、天球上に描かれた三角形のために天文学で生まれました。この球形のものは、10 世紀にアブ・アル・ワファやアブ・ナスル・マンスールなどイスラム世界の天文学者によって入手されました。平面三角形の形は、三角法を天文学から独立した学問としたペルシアのナーシル・アル・ディン・アル・トゥシによる四角形に関する論文 (1260) に体系的に現れています。ヨーロッパでは、1464 で書かれ 1533 で印刷されたレギオモンタヌスによるあらゆる種類の三角形についてという本によって広まりました。アブ・アル・ワファ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインナシル・アル・ディン・アル・トゥシ、後の芸術表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインレギオモンタヌス。正体不明の記録者。スミソニアン博物館のコレクション · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史正弦波が登場する以前、天文学者は和音を扱いました。ヒッパルコスとプトレマイオスは円の各弧の和音を表にしました。円弧の弦は中心角の半分の正弦の 2 倍です。これが正弦の法則が本質的に円の弦の結果である理由であり、このトピックのデモンストレーションでは正確に外接円を使用します。ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインクラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン正弦の法則を使用すると、距離と 2 つの角度を測定するだけで、三角形の反対側を計算できます。これは、17 世紀から 19 世紀にかけて国全体を測る三角測量の原理でした。

October 12, 2026 読んだ

章の演習 14 — 直角三角形

メトリックの関係 506 以下の場合の$x$の値を求めます。解答を見るa) 5 ・ b) 12 ・ c) $\sqrt{7}$ ・ d) $3\sqrt{3}$ 507 次の場合、$x$ を $a$ の関数として決定します。解答を見るa) $a\sqrt{3}$ b) $\dfrac{a}{2}$ 508 次の場合に $x$ を決定します。解答を見るa) 12 ・ b) 24 ・ c) 20 ・ d) 8 509 次の場合に $x$ を決定します。解答を見るa) $2\sqrt{29}$ b) 9 510 図に示されている要素との 10 メトリック関係を記述します。解答を見る特に: $b^2 + a^2 = n^2$、$c^2 + a^2 = m^2$、$\dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{a^2}$。

October 12, 2026 読んだ

ピタゴラスの定理の応用

正方形の対角線、正三角形の高さ、および 30°、45°、60° の三角比はすべて同じ定理から得られます。発見者正方形の対角線はすでに次のように計算されています。バビロニア人: タブレット YBC 7289 (紀元前 1800 ～ 1600 年頃) $\sqrt{2}$ 小数点以下 6 桁が正しい。直角三角形の辺間の比率は、天文学的な表として始まりました。ニカイアのヒッパルコス (紀元前 2 世紀) 文字列テーブルをセットアップした、インディアンアリヤバータ (499) ハーフロープを使い始めた — 私たちの正弦 —そしてイスラムの天文学者は次のように述べていますアブ・アル・ワファ (10 世紀) 組織化されたシャドウテーブル、私たちの接線。辺のあるすべてのピタゴラス三角形を生成する公式 $x^2 - y^2$, $2xy$ そして $x^2 + y^2$、本の標語に登場します要素のユークリッド. ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインアリヤバータ、後の芸術表現。Cpjha13 · ウィキメディアコモンズ · CC BY-SA 4.0 アブ・アル・ワファ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史エジプト人はすでに三角比を使用してピラミッドを建設しました。リンドのパピルス (紀元前 1650 年頃) は、高さ 1 キュビトごとに顔が水平方向に何手のひら分進むかというセク、つまり顔の傾き、コタンジェントを計算しています。

October 12, 2026 読んだ

メトリックの関係

斜辺の二乗は脚の二乗の和です。しかし、これは直角三角形の中で高さによって明らかになるいくつかの関係のうちの 1 つにすぎません。発見者直角三角形の辺間の関係は、直角三角形よりもはるかに古いものです。サモス島のピタゴラス（紀元前6世紀）。取締役会バビロン紀元前 1800 年頃からは、3、4、5 などの用語を使用し、正方形の対角線を計算します。あなたスルバ・スートラからのインド（紀元前 800 ～ 500 年頃）祭壇を築くための規則が述べられています。そして中国語のテキスト周美蘇京視覚的な証拠を提供します。ギリシャの伝統ではこの定理はピタゴラスと関連付けられていましたが、ピタゴラスがそれを実証したという文書による証拠はありません。私たちに伝わる最も古いデモは、要素のユークリッド (紀元前 300 年頃): 命題 I.47 定理を面積によって証明し、 I.48 を証明する相互。ピッチとの関係 — 各脚とピッチとして比例平均 — 提案の中にあります VI.8 そしてその結果。サモス島のピタゴラス、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史この章の証明は、第 VI 巻のユークリッドの証明です。高さは三角形を元の三角形と同様の 2 つの三角形に分割し、比率は計量関係を示します。それらを 2 つ足すとピタゴラスの定理が得られます。数学における記述は、これほど多くの方法で証明されているものはほとんどありません。アメリカの教授エリシャルーミスは、1940 版の本のピタゴラス命題の中で、370 のさまざまな実証をまとめました。その中には、将来のアメリカ合衆国大統領ジェームズガーフィールドによるものもあります。 1876、空中ブランコで作りました。

October 12, 2026 読んだ

13 章の演習 — 三角形と点の累乗の相似

演習と解決策 445 図中の三角形$ABC$と$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$は相似です。 1 番目と 2 番目の類似率が $\dfrac{3}{2}$ である場合、次のように決定します。 a) $a$、$b$、および $c$。 b) それらの周囲間の比率。解答を見るa) $a = 21$、$b = 18$、および $c = 15$ b) $\dfrac{3}{2}$ 446 三角形 $ABC$ と $PQR$ は相似です。 $x$と$y$を求めます。解答を見る$x = 16$ および $y = 14$ 447 $\triangle KLM$が$\triangle FGH$と類似している場合は、$x$を決定します。解答を見る$x = 28$ 448 三角形 $ABC$ の 3 辺の長さは 8 cm、18 cm、16 cm です。 1 番目と 2 番目の類似比が 3 に等しいことがわかっているので、$ABC$ に類似した三角形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ の辺を決定します。解答を見る$\dfrac{8}{3}$cm、6cm、$\dfrac{16}{3}$cm

October 11, 2026 読んだ

ポイントパワー

円内で交差する 2 つのコード。一方の部分の積は他方の部分の積に等しい。この考え方により、地平線までの距離を計算することができます。発見者 2 つの古典的な形式は次のとおりです。要素のユークリッド (紀元前 300 年頃): 命題III.35、切れたロープの上で、 III.36、同じ外部点から引かれた割線と接線上にあります。名前ポイントの力ずっと後の1826年にスイス人によって作られました。ジェイコブ・シュタイナー、点によって描かれた直線が何であれ、製品は常に同じであることに気づきました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインジェイコブ・シュタイナー。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史シュタイナーは、19 世紀の合成幾何学の偉大な名前の 1 人でした。農民の息子である彼は、14 歳になって初めて文字を学び、最終的にはベルリン大学の教授になりました。彼にとって、点の力は、ユークリッドの定理のいくつかを 1 つのアイデアにまとめる方法でした。 2 つのコードが P で交差します。Euclid III.35 に記録されている結果のように、各部分の積は等しいです。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。この概念は他の概念にもつながります。2 つの円の根軸は、両方に関して同じ力を持つ点の場所であり、接線の問題で今日まで使用されているツールです。日常生活での応用地平線からの距離。海の上 $h$ の高さから、地平線への接線は $d$、$d^2 = h(2R + h)$ になります。$R$ は地球の半径です (III.36)。高度 1,7 m では、地平線は約 4,7 km 離れています。弓の半径弦$c$と矢$s$(弓の高さ)を計測すると半径は$r = \tfrac{c^2/4 + s^2}{2s}$となります。修復家は古いアーチや窓を再構築するためにそれを使用します。道路のカーブ。測量士は、アスファルト上で測定された弦と矢印を使用して、同様の方法でカーブの半径を計算します。レンズとミラー。レンズの曲率半径は、直径が既知の部分の深さを測定することで得られます。出典: 要素、命題 III.35 · 要素、命題 III.36 · シュタイナー (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ

類似する事例（基準）

2 つの三角形が相似であることを確認するために、すべてをチェックする必要はありません。2 つの角度、または辺間の 3 つの比率で十分です。発見者 3 つの基準は、ユークリッドの原論の書 VI にあります (c. 300 BC)。三角形等角は比例した辺を持ちます (VI.4、ケース AA)、三角形は 3 つの辺を持ちます。比例辺は相似であり (VI.5、LLL)、間の角度が等しい 2 つの比例辺でも十分です (VI.6、LAL)。ずっと以前から、伝統では物語がアクセスできない距離を測定するために同じ形の三角形を使用したとされています。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカジョルダーノ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史類似性の基準は国全体を測定する三角測量というツールでした。 1615 では、オランダ人のヴィレブロルド・スネリウスがアルクマールとベルゲン・オプ・ズームの間の距離を三角形の連鎖で測定し、地球の大きさを推定しました。 18 世紀にカッシーニ家が同様の方法でフランス初の一般地図を作成しました。ヴィレブロルド・スネリウス。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインセザール・フランソワ・カッシーニ・ド・テュリー。Jean-Marc Nattier (1685–1766) · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン異なるスケールで同じ形状の三角形: 等しい角度と比例した対応する辺。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 AA のケースは特に強力です。簡単な機器を使用して、遠くからでも 2 つの角度を測定でき、すべての面の比率が保証されます。

October 11, 2026 読んだ

三角形の相似性

2 つの図形は、サイズが異なっていても、同じ形であれば似ています。それは写真、地図、モデルの数学です。発見者このアイデアはミレトスの物語の物語にあり、ピラミッドの影と棒の影を比較することでピラミッドの高さを測定したと考えられます。完全な理論はユークリッド (紀元前 300 頃) の原論の第 VI 巻にあり、角度と比例した辺を持つ相似図形を定義しています。これは、第 V 巻のクニドゥスのエウドクソス (紀元前 4 世紀) による比例理論に依存しており、これにより、不可分セグメント間の比率の処理も可能になりました。ミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカジョルダーノ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史影法が手段となった。中世以降、アストロラーベや象限には複雑な計算をせずに塔の高さや井戸の深さを測るために本影直方体と本影正方という２つのスケールを備えた影の四角形が刻まれていました。古い彫刻: 塔の高さは、観察者の 2 つの位置からの影 (本影の直下と本影の逆) の 2 乗で測定されます。オイラーの目ブログのコレクション。紀元前270 年頃、サモスのアリスタルコスは、相似の三角形を使用して、地球から月と太陽までの相対距離を推定しました。数値は実際の数値とはかけ離れていましたが、空にある類似の三角形を比較するという方法は正しかったのです。サモス島のアリスタルコス、後の芸術的表現。Claudio Camozzi · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン日常生活での応用写真を拡大します歪みを与えずに「ズーム」すると、すべての測定値に同じ係数が乗算されます。モックアップとミニチュア。スケール 1 : 43 のカートの各寸法は、実車の 43 倍小さいです。影による建物の高さ建物の影と身長が既知の人の影を同時に比較します。プロジェクターとカメラ。スクリーンまたはセンサー上の画像は物体と同様であり、そのサイズは距離に比例します。出典: テイルズ (MacTutor) · エレメンツ、第 6 巻 · アリスタルコス (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ