平面几何 — 互动书

第 16 章 — 正多边形

16 Capítulo 16 · Neste capítulo você vai 正多边形识别正多边形并证明它们是不可描述的和可外接的；识别中心、边心距和中心角；计算正方形、六边形和等边三角形的边长和边心距作为半径的函数；获取正则十边形和五边形的边并识别黄金线段。六角螺母、蜂窝、停车标志、时钟齿轮：正多边形是您需要围绕中心重复相同部件的地方。在本章中，我们证明每个正多边形都精确地拟合在具有相同中心的两个圆之间，并根据半径计算其边长和边心距 - 大约两千多年前的计算被用来创建第一个三角表。蜂窝：正六边形无间隙地组合在一起。六角螺母和螺钉头。一、概念和性质将圆分成相等的部分会产生正多边形。反之亦然：每个正多边形都有一个穿过所有顶点的圆和另一个接触所有边的圆。谁发现的内接和外接正多边形是欧几里德（约公元前 300）第四卷几何原本的主题：他用尺子和圆规构造了等边三角形、正方形、五边形（命题IV.11)、六边形 (IV.15) 和 15 边多边形 (IV.16)。两千多年来没有人超越这一点，直到卡尔·弗里德里希·高斯在1796中构造了正17边多边形，并在1801中展示了可以构造哪些正多边形；在 1837 中，Pierre Wantzel 证明了其他人的不可能。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域卡尔·弗里德里希·高斯。克里斯蒂安·阿尔布雷希特·詹森 (1792–1870) · 维基共享资源 · 公共领域故事 Gauss 和 Wantzel 的结果表明，当 $n$ 是 2 的幂乘以不同的费马素数（形式为 $2^{2^k} + 1$ 的素数，例如 3、5、17 时，可以用直尺和圆规构造具有 $n$ 边的正多边形， 257 和 65 537。这就是为什么七边形（7边）和九边形（9边）无法构造，但具有257边的多边形可以：在1832中，Friedrich Richelot发布了其构造。

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15 章中的练习 — 任何三角形

正弦定理 624 已知$\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$和$\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$，确定： a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$； b) $\cos 150^{\circ}$； c) $\cos 135^{\circ}$； d）$\operatorname{sen}150^{\circ}$； e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$； f) $\cos 120^{\circ}$。 Ver respostaa) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · b) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · c) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · d) $\dfrac{1}{2}$ · e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · f) $-\dfrac{1}{2}$ 625 在以下情况下确定$x$的值： Ver respostaa) $6\sqrt{2}$ · b) $6\sqrt{6}$ 626 在下列情况下确定三角形外接圆的半径： Ver respostaa) $4\sqrt{3}$ · b) $9\sqrt{2}$ 627 在以下情况下获取$x$的值： a) $ABCD$是平行四边形； b) $ABCD$ 是等腰梯形。 Ver respostaa) $6\sqrt{2}$ · b) $12\sqrt{2}$

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显着线的计算

中位数、高度和角平分线只能从三边计算。所有公式都来自度量关系，而斯图尔特的单一关系可以一次性解决所有问题。谁发现的中位数公式被称为阿波罗尼乌斯定理：亚历山大的教皇将其归因于佩尔加的阿波罗尼乌斯（公元前 3 世纪）。高度公式使用三角形的面积作为边的函数，即海伦公式，由亚历山大的海伦在1世纪以公制（阿拉伯人将其归因于阿基米德）证明。苏格兰人Matthew Stewart在一些在高等数学中相当有用的一般定理一书中在1746中发表了适用于连接顶点和对边的任何线段的关系。佩尔加的阿波罗尼乌斯，后来的艺术表现。乔瓦尼·巴蒂斯塔备忘录 · 维基共享资源 · 公共领域亚历山大的苍鹭，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域马修·斯图尔特。未知作者未知作者 · 维基共享资源 · 公共领域故事斯图尔特 (1717–1785) 是格拉斯哥罗伯特·西姆森 (Robert Simson) 和爱丁堡科林·麦克劳林 (Colin Maclaurin) 的学生，并接替麦克劳林担任数学教授。他以希腊的方式提倡纯粹的几何方法，甚至适用于天文学问题，例如计算到太阳的距离。罗伯特·西姆森.作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域科林·麦克劳林.大卫·斯图尔特·厄斯金 (1742–1829) · 维基共享资源 · 公共领域将顶点连接到对侧点的线段现在称为 ceviana，以纪念意大利人 Giovanni Ceva (1678)。中位数、高度和角平分线是特定的 Cevians，因此 Stewart 关系给出了所有这些的公式。

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度量关系和余弦定理

当角度不正确时，毕达哥拉斯定理有一个修正项。这个术语就是余弦定律。谁发现的该主题的度量关系在欧几里得（c. 300 BC）的几何原本中，以区域语言表示：命题II.12处理钝角的对边，并且II.13，与锐角相对。余弦形式 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ 与三角函数表一起出现的时间要晚得多。波斯天文学家Jamshid al-Kashi在算术的关键中的1427中提出了它；在法国，余弦定律仍称为théorème d’Al-Kashi。 François Viète 在 1593 中用余弦编写。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域弗朗索瓦·维埃特。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域故事欧几里得没有余弦或长度数。他说，钝角对边的正方形比另外两条边的正方形之和大“一侧与另一侧投影形成的矩形的两倍”。和这个主题的关系是一样的，都是用区域来写的。比较$a^2$和$b^2 + c^2$有一个简单的测试：只要知道三边就可以知道三角形是锐角、直角还是钝角。在日常生活中 **导航。**一艘船行驶 10 公里，转向 40°，再行驶 6 公里，是根据余弦定律计算出的距离港口的距离。 **机器人。**两段机械臂的关节角度通过余弦定律计算。 **地形。**当测量一块土地的两条边以及它们之间的角度时，第三条边不符合余弦定律。 **体育。**分析师根据两名球员和第三名球员之间的距离以及他们之间的角度来计算传球距离。来源：元素，命题 II.12 · 元素，命题 II.13 · Al-Kashi (MacTutor)。理论与结构度量关系 Teorema · 锐角的对面在任何三角形中，锐角对边的平方等于其他两条边的平方和减其中一条边与另一条边在其上的投影的乘积的两倍： $$\hat A < 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 - 2cm.$$ Teorema · 钝角的对边在钝角三角形中，钝角一侧的正方形等于另外两条边的平方和加上其中一侧与另一侧在其上（或包含它的直线上）投影的乘积的两倍： $$\hat A > 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 + 2cm.$$

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正弦定理

在任何三角形中，每条边除以对角的正弦值总是给出相同的数字：外接圆的直径。谁发现的正弦定理诞生于天文学，用于在天球上绘制三角形。球形版本是由伊斯兰世界的天文学家在 10 世纪获得的，其中包括阿布·瓦法和阿布·纳斯尔·曼苏尔。平面三角形的形状系统地出现在四边条约 (1260) 源自波斯语纳西尔·丁·图西，这使得三角学成为一门独立于天文学的学科。在欧洲，它随书而传播关于所有类型的三角形，从雷吉奥蒙塔努斯，写于 1464 年，印刷于 1533 年。 Abu al-Wafa，后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 Nasir al-Din al-Tusi，后来的艺术代表。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域雷吉奥蒙塔努斯。身份不明的录音机；史密森尼收藏 · 维基共享资源 · 公共领域故事在正弦之前，天文学家研究了弦：喜帕恰斯和托勒密将圆的每个弧的弦制成表格。圆弧的弦是圆心角一半的正弦值的两倍——这就是为什么正弦定理本质上是圆弦的结果，而本主题的演示正是使用外接圆。尼西亚的喜帕恰斯，后来的艺术表现。威廉·亨利·史密斯 · 维基共享资源 · 公共领域克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域利用正弦定理，只需测量距离和两个角度即可计算三角形的另一条边。这就是三角测量的原理，它测量了 17 世纪和 19 世纪之间的整个国家。

October 12, 2026 阅读

章节练习 14 — 直角三角形

度量关系 506 在以下情况下确定$x$的值： Ver respostaa) 5 · b) 12 · c) $\sqrt{7}$ · d) $3\sqrt{3}$ 507 在下列情况下，将 $x$ 确定为 $a$ 的函数： Ver respostaa) $a\sqrt{3}$ · b) $\dfrac{a}{2}$ 508 在以下情况下确定 $x$： Ver respostaa) 12 · b) 24 · c) 20 · d) 8 509 在以下情况下确定 $x$： Ver respostaa) $2\sqrt{29}$ · b) 9 510 写出10与图中所示元素的度量关系。 Ver resposta其中：$b^2 + a^2 = n^2$、$c^2 + a^2 = m^2$、$\dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{a^2}$。 511 在以下情况下确定 $x$： Ver respostaa) 6 · b) 3 · c) 8 · d) 9

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毕达哥拉斯定理的应用

正方形的对角线、等边三角形的高度以及30°、45°和60°的三角比都来自同一个定理。谁发现的正方形的对角线已经计算出来巴比伦人：平板电脑 YBC 7289（约公元前 1800–1600 年）给出 $\sqrt{2}$ 具有六位正确的小数位。直角三角形边之间的比率最初是天文表格：尼西亚的喜帕恰斯（公元前2世纪）建立了弦表，印度人阿里亚巴塔（499）开始使用半绳——我们的正弦 ——伊斯兰天文学家喜欢阿布·瓦法（10世纪）有组织的影子表，我们的切线。生成所有有边的毕达哥拉斯三角形的公式 $x^2 - y^2$, $2xy$ 和 $x^2 + y^2$，出现在书中的一句座右铭中元素的欧几里得. 尼西亚的喜帕恰斯，后来的艺术表现。威廉·亨利·史密斯 · 维基共享资源 · 公共领域 Aryabhata，后来的艺术表现。Cpjha13 · 维基共享资源 · CC BY-SA 4.0 Abu al-Wafa，后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事埃及人已经使用三角比来建造金字塔：莱茵德纸莎草纸（约公元前 1650 BC）计算 seked，即每肘高高度，面部水平前进多少手掌——面部的斜率，余切值。莱茵德纸莎草纸的细节，由艾哈迈斯在公元前 1650 左右抄写。该文件保留了埃及的数学问题和程序。抄写员艾哈迈斯；大英博物馆文件的复制品 · 维基共享资源 · 公共领域。毕达哥拉斯套装有一个著名的后代。在 1637 左右，Pierre de Fermat 在他的丢番图算术副本的页边空白处指出，就在套装问题旁边，$x^n + y^n = z^n$ 对于 $n > 2$ 没有正整数解。演示仅在 1994 进行，由 Andrew Wiles 进行。

October 12, 2026 阅读

度量关系

斜边的平方是边的平方和。但这只是直角三角形中高度所揭示的几种关系之一。谁发现的直角三角形边之间的关系比萨摩斯岛的毕达哥拉斯（公元前六世纪）。董事会巴比伦从公元前 1800 年左右开始，使用 3、4、5 等术语来计算正方形的对角线；你苏尔巴经从印度（约公元前 800 年至公元前 500 年）规定了建造祭坛的规则；和中文文本周笔算经提供视觉证据。希腊传统将该定理与毕达哥拉斯联系在一起，但没有文献证据证明他证明了这一定理。我们最古老的示威是在元素的欧几里得（约公元前 300 年）：命题 I.47 通过面积证明定理，并且 I.48 证明互惠的。与音高的关系——每条腿和音高为比例平均数 ——在提案中六.8 及其推论。萨摩斯岛的毕达哥拉斯，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事本章的证明是第六卷中欧几里得的证明：高度将三角形分成两个与原来相似的三角形，比例给出了度量关系；将它们两个相加就得到毕达哥拉斯定理。很少有数学陈述能以如此多的方式得到证明：美国教授 Elisha Loomis 在 1940 版的《毕达哥拉斯命题》毕达哥拉斯命题中汇集了 370 种不同的论证，其中包括未来美国总统詹姆斯·加菲尔德的一项论证，作者是 1876，用秋千做的。伊丽莎·斯科特·卢米斯。Finkel, B. F. · 维基共享资源 · 公共领域詹姆斯·加菲尔德。身份不明的摄影师； Brady-Handy 收藏 · 维基共享资源 · 公共领域欧几里得毕达哥拉斯定理（命题一47）的中文字母：在利玛窦和徐光启翻译的《几何原本》1607中，希腊标签变成了十个天干。来自博客的原始教学插图，根据欧拉之眼系列中的人物重新设计。该定理也是通向无理数的大门：边长为 1 的正方形的对角线测量为 $\sqrt{2}$，并且这个数字不是分数的发现震惊了毕达哥拉斯学派。

October 12, 2026 阅读

13 章中的练习——三角形和点幂的相似性

练习和决议 445 图中的三角形$ABC$和$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$是相似的。若第1个与第2个的相似比为$\dfrac{3}{2}$，则确定：a)$a$、$b$和$c$； b) 它们的周长之比。 Ver respostaa) $a = 21$, $b = 18$ e $c = 15$ · b) $\dfrac{3}{2}$ 446 三角形 $ABC$ 和 $PQR$ 相似。确定$x$和$y$。 Ver resposta$x = 16$ e $y = 14$ 447 如果$\triangle KLM$与$\triangle FGH$相似，则确定$x$。 Ver resposta$x = 28$ 448 三角形 $ABC$ 的三条边的尺寸为 8 厘米、18 厘米和 16 厘米。确定与 $ABC$ 相似的三角形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ 的边，知道第一个与第二个的相似比等于 3。 Ver resposta$\dfrac{8}{3}$ 厘米、6 厘米和 $\dfrac{16}{3}$ 厘米 449 如果$\overline{DE}$与$\overline{BC}$平行，则在以下情况下确定$x$（在b中，$x = AD$）： Ver respostaa) 12 · b) 40

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点功率

相交在一个圆内的两条弦：其中一个部分的乘积等于另一个部分的乘积。有了这个想法，就可以计算出到地平线的距离。谁发现的这两种经典形式出现在欧几里德（公元前300）的几何原本中：关于相互切割的绳索的命题III.35，以及III.36，位于从同一外点绘制的割线和切线上。点的幂这个名字是在很久以后的1826中由瑞士人Jakob Steiner创建的，他意识到无论点画出的直线是什么，乘积总是相同的。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域雅各布·斯坦纳。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域故事斯坦纳是 19 世纪合成几何领域的伟大人物之一。他是农民的儿子，在 14 岁时才学会写作，并最终成为柏林大学的教授。对他来说，点的力量是将欧几里得的几个定理整合成一个想法的一种方式。两条弦相交于 P：两部分的乘积相等，如 Euclid III.35 中记录的结果。来自博客的原始教学插图。这个概念引出了其他概念：两个圆的根轴是相对于两个圆具有相同幂的点的位置，这是当今在相切问题中使用的工具。在日常生活中距地平线的距离。从海平面以上的高度 $h$ 开始，地平线的切线测量为 $d$，其中 $d^2 = h(2R + h)$，其中 $R$ 是地球的半径 (III.36)。在 1,7 米高度处，地平线距离约 4,7 公里。 **弓的半径。**测量弦$c$和箭头$s$（弓的高度），半径为$r = \tfrac{c^2/4 + s^2}{2s}$。修复者用它来重建旧的拱门和窗户。 **道路曲线。**测量员以相同的方式计算曲线的半径，在沥青上测量弦和箭头。 **透镜和镜子。**透镜的曲率半径是通过测量已知直径部分的深度获得的。来源：元素，命题 III.35 · 元素，命题 III.36 · Steiner (MacTutor)。

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相似性案例（标准）

为了确保两个三角形相似，不必检查所有内容：两个角度或三个边之间的比率就足够了。谁发现的这三个标准位于欧几里得的几何原本的第六册中（c. 300 BC）：三角形等角具有成比例的边（VI.4，情况AA），三角形具有三个比例边的情况类似 (VI.5, LLL)，并且两个之间角度相等的比例边也足够 (VI.6, LAL)。更早以前，传统将使用相同形状的三角形来测量难以到达的距离归因于故事。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域故事相似性标准是三角测量的工具，即测量整个国家的方法。在1615中，荷兰人Willebrord Snellius用一串三角形测量了阿尔克马尔和卑尔根奥普佐姆之间的距离，并估计了地球的大小。 18世纪，卡西尼号家族以同样的方式制作了第一张法国通用地图。维勒布罗德·斯内利厄斯。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域塞萨尔·弗朗索瓦·卡西尼·德·图里。Jean-Marc Nattier (1685–1766) · 维基共享资源 · 公共领域不同比例的相同形状的三角形：等角和成比例的对应边。来自博客的原始教学插图。 AA 外壳的功能尤其强大：即使从远处，也可以用简单的仪器测量两个角度，并保证所有边的比例。在日常生活中 **河流的宽度。**河岸上标有两个相似的三角形，上面有木桩和瞄准器；过河的一侧按比例计算。相机暗箱和眼睛。物体及其图像形成相似的三角形，与孔中的顶点相对（案例 AA）。 **坡道和楼梯。**具有相同倾斜度的两个坡道具有相似的轮廓，无论长度如何。正方形。具有相同角度（45° 或 30° 和 60°）的不同大小的正方形是相似的。来源：元素，命题 VI.4 · 元素，命题 VI.6 · Snellius (MacTutor)。理论与结构 Teorema · 第一种情况——AA（两个角度）如果两个三角形有两个角有序全等，那么它们是相似的（因此具有比例同源的边）。

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三角形的相似度

当两个图形具有相同的形状时，即使它们的大小不同，它们也是相似的。这是照片、地图和模型的数学。谁发现的这个想法出现在关于米利都传说的故事中，他们通过将金字塔的影子与棍子的影子进行比较来测量金字塔的高度。完整的理论位于欧几里得（约公元前300）的几何原本第六册中，它将相似的图形定义为具有等角和比例边的图形。它取决于第五卷中Eudoxus of Cnidus（公元前 4 世纪）的比例理论，该理论也允许处理不可通约片段之间的比率。米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事影子法成为一种工具。从中世纪开始，星盘和象限上就刻有阴影方，并有直本影和本影两种刻度，用来测量塔的高度和井的深度，无需复杂的计算。旧雕刻：塔的高度是从观察者的两个位置用阴影（直本影和本影）的平方来测量的。欧拉之眼博客的集合。大约公元前 270，萨摩斯岛的阿里斯塔克斯使用类似的三角形来估计从地球到月球和太阳的相对距离。这些数字与真实数字相去甚远，但比较天空中相似三角形的方法是正确的。萨摩斯岛的阿里斯塔克斯，后来的艺术表现。克劳迪奥·卡莫齐·维基共享资源·公共领域在日常生活中 **放大照片。**在不扭曲的情况下“缩放”时，所有测量值都会乘以相同的系数。模型和微缩模型。比例为 1 : 43 的购物车的每个尺寸都比真车小 43 倍。 **影子的建筑物高度。**同时将建筑物的影子与已知身高的人的影子进行比较。 **投影仪和相机。**屏幕或传感器上的图像与物体相似，大小与距离成正比。来源：故事 (MacTutor) · 元素，第六册 · Aristarchus (MacTutor)。理论与结构 Definição · 相似三角形两个三角形相似（符号$\sim$）当且仅当它们具有三个有序全等角和比例同调边： $$\triangle ABC \sim \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \iff \begin{cases} \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \\ \dfrac{a}{a^{\prime}} = \dfrac{b}{b^{\prime}} = \dfrac{c}{c^{\prime}} = k \end{cases}$$同源边（同源 = 相同，徽标 = 位置）在每个三角形中各有一个，并且是相反的全等角。数字$k$是相似率；如果 $k = 1$，则三角形全等。

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