Euler's Eyes
2026-10-11
泰勒斯定理
一束平行线将两条横截线切割成成比例的部分。正是基于这个想法，一块板被分成相等的部分，而不需要做任何数学计算。
谁发现的
结果被称为米利都传说（公元前 6 世纪），传统上与通过阴影测量大金字塔的高度相关（请参阅本章开头对此的好奇）。我们知道的演示来自欧几里德，在几何原本（约公元前300）的命题VI.2中，并使用三角形的面积。这一结果被称为“塔尔斯定理”，这是巴西、葡萄牙、法国、西班牙和意大利等国家的传统；在德语和英语中，同一个名称指的是半圆内切的角。
故事
没有记录表明泰勒斯证明了该定理。消息来源称，他使用比例来测量高度和距离。欧几里得的证明也需要适用于不可通约的线段，这就是为什么它基于第五卷中 Eudoxus 的比例理论。
这个名字似乎在 19 世纪末就出现在法国教科书中，并从那时起进入了巴西的教学。泰勒斯对半圆角的看法更为古老，来自第欧根尼·拉尔西奥 (Diógenes Laércio)。
在日常生活中
- 将木板分成相等的部分。 木匠将卷尺倾斜在木板上，直到从边缘到边缘适合“圆形”测量（例如 30 厘米到 5 部分），并从 6 到 6 厘米进行标记：标记将宽度分成相等的部分。
- **比例。**地图、模型和平面图保持原始比例。
- **板条和网格。**等距平行线将任何斜线切成相等的部分。
- **透视图。**设计师使用比例来分隔绘图中分开的柱子和窗户。
来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 VI.2 · 元素，书 V。
理论与结构
Definição平行和横向梁
- 平行线束是一组彼此平行的共面线。
- 梁的横截面是平面中与梁的所有直线相切的直线。
- 两条横截面的对应点位于梁的同一条直线上； 相应的段在相应的点处有端点。
Propriedade一致的零件
如果两条直线是一束不同平行线的截线，其中一条线段被分为 $p$ 个全等部分，且该束直线经过分界点，则另一条截线的相应线段也被分为 $p$ 个全等部分彼此全等。
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**第 1 部分（部分数量）。**如果相应的段被分成更少（或更多）部分，则梁的至少两条直线会相遇 - 荒谬，因为它们是平行的。
**第二部分（同余）。**通过第二条横截线的分界点，我们与第一条横截线进行平行。平行四边形和三角形由与 $x$ 相等的边和分别与平行边形成的角度形成；根据 ALA，三角形全等。因此，第二条横线的各部分是全等的。
Teorema泰勒斯定理
如果两条线是一束平行线的横截线，则其中一条平行线的任意两线段之间的比率等于另一条线的相应线段之间的比率：
$$\frac{AB}{CD} = \frac{A^{\prime}B^{\prime}}{C^{\prime}D^{\prime}}, \qquad\text{ou ainda}\qquad \frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}} = \frac{CD}{C^{\prime}D^{\prime}}.$$相应段之间的比率是恒定的。
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**第一种情况：$\overline{AB}$和$\overline{CD}$可通约。**有一段$x$适合$\overline{AB}$中的$p$次，$\overline{CD}$中的$q$次：$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{p}{q}$。使用先前的属性 $A^{\prime}B^{\prime} = p\,x^{\prime}$ 和 $C^{\prime}D^{\prime} = q\,x^{\prime}$，然后使用 $\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{C^{\prime}D^{\prime}} = \dfrac{p}{q}$ 通过分割点绘制梁直线。
**第二种情况：不可通约。**我们在$\overline{CD}$中取适合$n$次的$y$；然后$m\,y < AB < (m+1)\,y$到一些$m$，即$\dfrac{m}{n} < \dfrac{AB}{CD} < \dfrac{m+1}{n}$。根据前面的性质，$\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{C^{\prime}D^{\prime}}$也是如此。通过减少 $y$（增加 $n$），分数 $\dfrac{m}{n}$ 和 $\dfrac{m+1}{n}$ 定义一个实数 — 它等于两个比率。
Exemplo将一段分成相等的部分
要将 $\overline{AB}$ 分成 $p$ 个全等部分，我们通过 $A$ 画一条辅助半线，用圆规在其上标记 $p$ 个相等的线段，将最后一个标记连接到 $B$，并通过其他标记绘制与该线平行的线。根据泰勒斯定理，他们将 $\overline{AB}$ 分为 $p$ 全等部分。
Propriedade平行于三角形的一侧
与三角形的一条边平行且与另外两条边相切的直线将它们以相同的比例分开。相反，如果 $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$、$D \in \overline{AB}$ 和 $E \in \overline{AC}$，则 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$（练习 427）。