Euler's Eyes
2026-10-11
偏心角
当角的顶点位于圆的内部或外部，但不在圆心或圆上时，该角就是偏心角，其测量值是两条弧的平均值。
谁发现的
偏心角的公式没有说明 元素，但它们直接来自命题 三、20 的 欧几里得 （内切角）与 I.32 （三角形的外角）。与它们相关的最著名的问题之一有一个作者：1471 年，德国天文学家 雷吉奥蒙塔努斯 问从多远的距离可以看到底座顶部的雕像 最大角度 可能的。
故事
Regiomontanus 的答案是使用外偏心角。从地面上的任何一点，都可以看到雕像的角度是两个拱门之差的一半；当穿过脚和雕像顶部的圆周与地面相切时，角度最大。这是历史上第一批未经计算就解决的最大问题之一。
同样的推理也出现在橄榄球中：在尝试之后，踢球者沿着一条线选择他从最大可能角度看到柱子的点。
在日常生活中
- **博物馆。**观看悬挂在眼睛上方的画作的最佳距离来自 Regiomontanus 问题。
- **橄榄球。**转换点的选择遵循同样的原则。
- 电影院。 在第一行中，从一个大但非常倾斜的角度看到屏幕；偏心角度解释了为什么房间的中间是最好的。
- **摄影。**要拍摄一个高物体，摄影师会寻找它占据视野最大角度的点。
来源： Regiomontanus (MacTutor) · 元素，命题 III.20 · 元素，命题 I.32。
理论与结构
Teorema内、外偏心角
- 内部：如果两条弦在不同于中心的内部点处相交，则它们之间的角度测量它及其相对顶点看到的弧的半圆：$x = \dfrac{a + b}{2}$。
- 外部：如果两条割线（或切线，或各一条）从外部点出发，则它们之间的角度测量截取弧的半差：$x = \dfrac{a - b}{2}$。
理由。 在内部情况下，$x$ 是一个三角形的外角，该三角形的两个不相邻的内角是内接的，测量值是 $\dfrac{a}{2}$ 和 $\dfrac{b}{2}$。在国外，$\dfrac{a}{2}$是具有内角$x$和$\dfrac{b}{2}$的三角形的外角。
