Euler's Eyes
2026-10-11
章节练习 8 - 三角形的值得注意的点
练习和决议
练习 274 — 分类为真 (V) 或假 (F)
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内心 是三角形的内接圆的中心。
Verdadeiro. 它的三边等距。
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外心 是三角形外接圆的圆心。
Verdadeiro. 它到三个顶点的距离相等。
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内心 位于三角形内部。
Verdadeiro. 内部角平分线位于三角形内部。
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重心 位于三角形内部。
Verdadeiro. 中线位于三角形内部。
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垂心 位于三角形内部。
Falso. 在钝角中，它是外部的。
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外心 位于三角形内部。
Falso. 钝角为外角；在矩形中，它在斜边上。
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重心 是三角形的内接圆的中心。
Falso. 这是内心。
说出以下情况下哪个三角形满足给定条件： a) 垂心 和 重心 重合； b) 内心和外心重合； c) 垂心 是顶点之一； d) 垂心 是外部的； e) 外心 是外部的； f) 外心 位于一侧； g) 垂心 是内部点。
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a) 等边 · b) 等边 · c) 矩形 · d) 钝角 · e) 钝角 · f) 矩形 · g) 锐角
考虑由三角形的三个高度、三个中线和三个内部 角平分线 组成的线段。我们将有多少个两两不同的片段： a) 在 等边三角形 中； b) 在等腰三角形而不是等边中； c) 在 不等边三角形 中？
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a) 3 · b) 7 · c) 9
将$G$设为三角形$ABC$的重心，根据$AG = 10$、$BG = y$和$CG = 14$确定$x$、$y$和$z$。
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$x = 7$, $y = 12$ e $z = 5$
如果四边形$ABCD$是平行四边形，$M$是$\overline{AB}$的中点，则用$DP = 16$和$PM = x$确定$x$。
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$x = 8$：绘制对角线$\overline{BD}$； $P$ 是三角形 $ABD$ 的 重心。
将三角形$ABC$和$B\hat{H}C = 150^{\circ}$的垂心作为$H$，确定$\hat{A}$。
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$\hat{A} = 30^{\circ}$
如果 $H$ 是 等腰三角形 $ABC$ 底 $\overline{BC}$ 和 $B\hat{H}C = 50^{\circ}$ 的 垂心，请确定三角形的角度。
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$25^{\circ}$, $25^{\circ}$ e $130^{\circ}$
如果$P$是三角形$ABC$和$B\hat{P}C = 125^{\circ}$的内心，则确定$\hat{A}$。
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$\hat{A} = 70^{\circ}$
等腰三角形 的 外心 在三角形内部，两个 垂直平分线 形成 $50^{\circ}$ 角。确定这个三角形的角度。
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($50^{\circ}$、$50^{\circ}$、$80^{\circ}$) 或 ($65^{\circ}$、$65^{\circ}$、$50^{\circ}$)
考虑到具有“等号”的线段是全等的，确定这种情况下的未知数的值：
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a) $x = 4$ e $y = 6$ · b) $x = 4$
考虑三角形的四个值得注意的点： a) 哪些点可以在三角形的外部？ b) 一侧的中点可能是多少？ c) 三角形的顶点可能是什么？
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a) o 外心 e o 垂心 · b) o 外心 · c) o 垂心
在三角形 $ABC$ 中，角度 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 分别测量为 $86^{\circ}$ 和 $34^{\circ}$。确定 垂直平分线 相对于边 $\overline{BC}$ 以及角度 $\hat{C}$ 与 角平分线 形成的锐角。
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$60^{\circ}$
在三角形 $ABC$ 中，角度 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 分别测量为 $70^{\circ}$ 和 $60^{\circ}$。确定三个高度相交形成的两个最大角度之间的比率。
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$\dfrac{13}{12}$ 或 $\dfrac{12}{13}$
确定 垂直平分线 与一个 等边三角形 形成的三个钝角的尺寸。
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$120^{\circ}$ 每个
图中，$Q$是$\overline{AB}$的中点，$\overline{QP}$与$\overline{BC}$平行。为 $AC = 30$ cm，确定 $PO$。
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$PO = 5$ 厘米
图中，$ABCD$是矩形，$M$是$\overline{CD}$的中点，三角形$ABM$是等边。为$AB = 15$，计算$AP$。
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$AP = 10$；请注意，$P$ 是三角形 $ACD$ 的 重心。
确定图中三角形$ARS$的周长，其中$AB$和$AC$分别测量15厘米和18厘米，$\overline{BQ}$和$\overline{CQ}$是三角形$ABC$和$\overline{RS}$的角度$\hat{B}$和$\hat{C}$的角平分线与$\overline{BC}$平行。
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33 厘米；请注意，三角形 $RBQ$ 和 $SCQ$ 是等腰三角形。
三角形 $ABC$ 的三个 角平分线 相交于一点 $O$。将角度 $A\hat{O}B$、$A\hat{O}C$ 和 $B\hat{O}C$ 的尺寸确定为三角形的角度 $\hat{A}$、$\hat{B}$ 和 $\hat{C}$ 的函数。
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$A\hat{O}B = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{C}}{2}$; $A\hat{O}C = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{B}}{2}$; $B\hat{O}C = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{A}}{2}$