三角形的三个 垂直平分线 在 外心 处相交，即穿过三个顶点的圆心。

谁发现的

其构造是欧几里德的几何原本的命题IV.5（c. 300 BC）：“将一个圆外接到给定的三角形”。 垂直平分线 的交点与三个顶点的距离相同，因此作为中心。欧几里得还观察中心的位置：如果是锐角三角形，则在三角形内部；如果是矩形，则在最大边上；如果是钝角三角形，则在最大边上。

欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域

故事

同样的问题以另一种形式出现：通过三个未对齐的点，恰好有一个圆通过。这是许多定位和重建技术的基础。

垂直平分线 的交点与三个顶点的距离相同，并确定外接圆。
垂直平分线 的交点与三个顶点的距离相同，并确定外接圆。来自博客的原始教学插图。

考古学家使用 外心 来重建破碎的陶器碎片。他们利用盘子边缘的单个片段标记三个点，追踪两个 垂直平分线 并找到原始盘子的中心和半径，从而知道它的大小。

在日常生活中

  • **重建一个板或一个轮子。**边缘上的三个点足以找到中心和直径。
  • 等距地点。 距离三个城市相同距离的医院、天线或集合点位于 外心。
  • **通过三点绘制圆弧。**绘图和 CAD 程序在“通过三点的圆弧”工具中使用此结构。
  • **直角三角形。**在直角三角形中，外心 是斜边的中点：正方形的角始终将斜边“视为”直径。

来源： 元素，命题 IV.5 · 欧几里德 (MacTutor)。

理论与结构

Teorema来自垂直平分线的竞争

三角形各边的 垂直平分线 相交于同一点，到顶点的距离相等：

$$m_1 \cap m_2 \cap m_3 = \lbrace O \rbrace, \qquad OA = OB = OC.$$

演示。 令 $O$ 为 $m_2$ 和 $m_3$ 的交集（垂直平分线 为 $\overline{AC}$ 和 $\overline{AB}$ 的交集）。如$O \in m_2$、$OA = OC$；例如$O \in m_3$、$OA = OB$。所以$OB = OC$，$O$在$\overline{BC}$的垂直平分线$m_1$中。

Definição外心

垂直平分线 双方的交汇点是 外心。它是三角形（穿过三个顶点）的外接圆的中心。