Euler's Eyes
2026-10-11
5 章中的练习 — 并行性
练习和决议
由于直线$a$与直线$b$平行，因此在以下情况下确定$x$：
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a) $50^{\circ}$ · b) $60^{\circ}$
如果直线$r$和$s$平行，则在以下情况下确定$x$：
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a) $60^{\circ}$ · b) $70^{\circ}$
图中的线$r$和$s$是平行的。确定$x$和$y$。
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a) $x = 120^{\circ}$, $y = 75^{\circ}$ · b) $x = 20^{\circ}$, $y = 50^{\circ}$
图中，为$a \parallel b$，计算$\alpha + \beta - \gamma$。
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$30^{\circ}$
两条平行线与一条横线相切所形成的四个锐角之和等于$80^{\circ}$。确定钝角。
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$160^{\circ}$
由于$a$与$b$平行，因此计算$x$。
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$x = 45^{\circ}$
图中，为$a \parallel b$，计算$x$。
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$x = 7^{\circ}12^{\prime}$
图中，为$r \parallel s$，计算$x$和$y$。
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$x = 20^{\circ}$ e $y = 30^{\circ}$
图中，角度 $\alpha$ 和 $\beta$ 的边分别平行。作为$\alpha = 8x$和$\beta = 2x + 30^{\circ}$，确定$\beta$的补充。
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$140^{\circ}$ ($x = 5$, $\alpha = \beta = 40^{\circ}$).
计算$x + y$的值，即$r \parallel s$和$t \parallel v$。
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$x + y = 180^{\circ}$
如果直线$r$和$s$平行，则在以下情况下确定$x$、$y$和$z$：
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a) $x = 50^{\circ}$, $y = 60^{\circ}$, $z = 70^{\circ}$ · b) $x = 40^{\circ}$, $y = z = 120^{\circ}$
在以下情况下确定$x$的值：
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a) $50^{\circ}$ · b) $40^{\circ}$
在以下情况下确定 $y$：
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a) $110^{\circ}$ · b) $120^{\circ}$
在以下情况下确定 $x$：
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a) $60^{\circ}$ · b) $50^{\circ}$
在下列情况下确定$x$和$y$：
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a) $x = 30^{\circ}$, $y = 40^{\circ}$ · b) $x = 30^{\circ}$, $y = 30^{\circ}$
确定以下情况下三角形的角度：
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a) $40^{\circ}$, $60^{\circ}$ e $80^{\circ}$ · b) $30^{\circ}$, $60^{\circ}$ e $90^{\circ}$
如果三角形 $ABC$ 与底边 $\overline{BC}$ 是等腰三角形，则在以下情况下确定 $x$：
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a) $40^{\circ}$ · b) $45^{\circ}$ · c) $120^{\circ}$ · d) $105^{\circ}$
在以下情况下确定 $\alpha + \beta + \gamma$：
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a) $360^{\circ}$ · b) $900^{\circ}$
三角形 $ABC$ 与底边 $\overline{BC}$ 是等腰三角形。在以下情况下确定$x$的值：
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a) $50^{\circ}$ · b) $36^{\circ}$ · c) $70^{\circ}$
确定未知数的值（具有“等号”的线段是全等的）。
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a) $30^{\circ}$ · b) $55^{\circ}$ · c) $80^{\circ}$ · d) $36^{\circ}$ · e) $105^{\circ}$ · f) $25^{\circ}$ · g) $x = 30^{\circ}$, $y = 40^{\circ}$ · h) $x = 15^{\circ}$, $y = 40^{\circ}$
下图中，$\overline{ED}$与$\overline{BC}$平行。当$B\hat{A}E$等于$80^{\circ}$并且$A\hat{B}C$等于$35^{\circ}$时，计算$A\hat{E}D$的测量值。
看书上的解决办法
只需延伸 $\overline{DE}$ 直到直线 $DE$ 在点 $P$ 处与 $\overline{AB}$ 相交。请注意，$x$ 是三角形 $APE$ 的外角。然后$\alpha = 35^{\circ}$（对应$\hat{B}$，如$\overleftrightarrow{DE} \parallel \overleftrightarrow{BC}$）和
$$x = \alpha + 80^{\circ} = 35^{\circ} + 80^{\circ} = 115^{\circ}.$$确定$x$和$y$的值为$r \parallel s$。
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$x = 10^{\circ}$ e $y = 150^{\circ}$
计算$x$的值，即$r \parallel s$。
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$x = 72^{\circ}$
如果$r \parallel s$，则计算$\alpha$。
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$\alpha = 100^{\circ}$
在下图中，直线$r$和$s$是平行的。计算$\alpha$。
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$\alpha = 52^{\circ}$
图中，计算角度$\alpha$的大小，即$r \parallel s$。
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$\alpha = 100^{\circ}$
图中，$\overline{AB}$与$\overline{CD}$平行。根据$C\hat{D}B = 150^{\circ}$和$A\hat{B}C = 25^{\circ}$，计算$C\hat{B}D$。
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$C\hat{B}D = 5^{\circ}$
确定$x$的值。
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$x = 60^{\circ}$
计算图中三角形$ABC$中的$x$。
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$x = 15^{\circ}$
三角形的内角分别与2、3和4成比例。确定其中最大的一个的测量值。
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$80^{\circ}$
在练习 160、161 和 162 中，计算三角形 $ABC$ 中的未知数。
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$x = 110^{\circ}$
为 $\overline{AB} \equiv \overline{AC}$：
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$x = 55^{\circ}$ e $y = 70^{\circ}$
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$x = 70^{\circ}$
图中，三角形$ABC$以底边$\overline{BC}$为等腰三角形。计算$x$的值。
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$x = 65^{\circ}$
计算下图所示的$x$和$y$。
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$x = 70^{\circ}$ e $y = 125^{\circ}$
该图显示了一个等腰三角形 $ABC$，底边为 $\overline{BC}$。由$A\hat{B}C$中的$\overline{BD}$角平分线和$A\hat{C}B$中的$\overline{CD}$角平分线，计算$x$的值。
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$x = 130^{\circ}$
图中三角形$ACD$以底边$\overline{AD}$为等腰三角形。将 $12^{\circ}$ 作为角度 $B\hat{A}D$ 的测量值，将 $20^{\circ}$ 作为角度 $A\hat{B}C$ 的测量值，计算角度 $A\hat{C}D$ 的测量值。
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$A\hat{C}D = 116^{\circ}$
等腰三角形的底边的外角是顶角的$\dfrac{5}{4}$。计算这个三角形的角度。
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$120^{\circ}$, $30^{\circ}$ e $30^{\circ}$
在等腰三角形$ABC$中，顶角$A$等于$B$和$C$中的外角之和的$\dfrac{1}{10}$。以 $\overline{BC}$ 为三角形底，确定角度 $\hat{A}$。
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$\hat{A} = 20^{\circ}$
在三角形$ABC$中，角$\hat{B}$和$\hat{C}$中的角平分线形成的钝角超过$76^{\circ}$中的角$\hat{A}$。确定$\hat{A}$。
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$\hat{A} = 28^{\circ}$
证明在图中的三角形$ABC$中，关系$\alpha - \beta = \hat{B} - \hat{C}$成立，其中$\overline{AD}$角平分线是角度$B\hat{A}C$。
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$\alpha$ 位于 $\triangle ABD$ 的外部：$\alpha = \dfrac{\hat{A}}{2} + \hat{B}$。 $\beta$ 位于 $\triangle ACD$ 的外部：$\beta = \dfrac{\hat{A}}{2} + \hat{C}$。减去，$\alpha - \beta = \hat{B} - \hat{C}$。
在三角形$ABC$中，角$\hat{B}$和$\hat{C}$中的角平分线所形成的与$\overline{BC}$相对的角是角$\hat{A}$的五倍。确定角度 $\hat{A}$ 的尺寸。
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$\hat{A} = 20^{\circ}$
在图中，计算$x$的值作为$m$的函数。
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$x = 2m$
在任意三角形$ABC$中，$B$和$C$中的内角角平分线所形成的对$\overline{BC}$的角等于顶角$A$的半补的余数。
看书上的解决办法
*在命题陈述的问题中，需要证明性质。*设$b$和$c$是$\hat{B}$和$\hat{C}$和$x = B\hat{D}C$的一半，其中$D$是角平分线的会议。
$$\triangle DBC:\ x + b + c = 180^{\circ} \Rightarrow x = 180^{\circ} - (b + c)$$$$\triangle ABC:\ 2b + 2c + \hat{A} = 180^{\circ} \Rightarrow b + c = 90^{\circ} - \frac{\hat{A}}{2}$$
标志$x = 180^{\circ} - \left(90^{\circ} - \dfrac{\hat{A}}{2}\right)$：$\dfrac{\hat{A}}{2}$的补语的补充。 （换句话说，$x = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{A}}{2}$ — 练习中的测试 165！）
图中，计算角度$x$，$\alpha$是$\beta$的三倍，$\gamma$是$\beta$的六倍。
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$x = 50^{\circ}$
在三角形$ABC$中，顶角$A$等于与$\overline{BC}$相邻的角的角平分线所形成的钝角的八分之一。确定顶角 $A$ 的尺寸。
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$12^{\circ}$
等腰三角形 的外部顶角测量为 $150^{\circ}$。确定： a) 三角形的角度； b) 三角形底角角平分线所成的钝角； c) 由底角之一的角平分线和顶角的角平分线形成的角。
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a) $30^{\circ}$, $75^{\circ}$ e $75^{\circ}$ · b) $105^{\circ}$ · c) $52^{\circ}30^{\prime}$ e $127^{\circ}30^{\prime}$
确定三角形 $ABC$ 的外部 角平分线 相对于顶点 $B$ 和 $C$ 形成的最小角度，已知角度 $\hat{A}$ 的尺寸为 $76^{\circ}$。
看书上的解决办法
设$b$和$c$为$B$中外角的一半，$C$和$x$为所需角度。
- $\hat{B} + \hat{C} + 76^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 104^{\circ}$.
- $2b + \hat{B} = 180^{\circ}$和$2c + \hat{C} = 180^{\circ}$；添加，$2(b + c) + 104^{\circ} = 360^{\circ} \Rightarrow b + c = 128^{\circ}$。
- 在外部角平分线和$\overline{BC}$形成的三角形中：$x + b + c = 180^{\circ} \Rightarrow x = 52^{\circ}$。
确定三角形三个角的大小，已知第二个角是第一个角的 $\dfrac{3}{2}$，第三个角是前两个角的半和。
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$48^{\circ}$, $72^{\circ}$ e $60^{\circ}$
三角形的三个角使得第二个角比第一个角小 $28^{\circ}$，第三个角比第一个角大 $10^{\circ}$。确定三角形的三个角。
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$66^{\circ}$, $38^{\circ}$ e $76^{\circ}$
在 等腰三角形 中，顶角是每个底角的一半。确定三角形的三个角。
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$36^{\circ}$, $72^{\circ}$ e $72^{\circ}$
确定任意一条截线相交的两条平行线的两个内边角的 角平分线 所形成的角度。
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$90^{\circ}$
在图中，确定角度$\alpha$作为$m$的函数，即$\hat{A} = 3m$、$\hat{B} = 2m$、$\hat{D} = m$和$B\hat{C}D = \alpha$。
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$\alpha = 6m$
在任意三角形$ABC$中，$B$和$C$中的外角角平分线所形成的与$\overline{BC}$相对的角等于三角形顶角$A$的一半的补角。
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按照练习 173 进行操作，现在使用外部 角平分线：角度为 $90^{\circ} - \dfrac{\hat{A}}{2}$。
图中，$\overline{AB}$ 与 $\overline{AC}$ 一致，$\overline{AE}$ 与 $\overline{AD}$ 一致，给定 $B\hat{A}D = 48^{\circ}$，计算角度 $C\hat{D}E$ 的大小。
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$C\hat{D}E = 24^{\circ}$
已知线段 $\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{DE}$、$\overline{EF}$ 和 $\overline{FA}$ 相等，确定 等腰三角形 $ABC$ 的顶点 $A$ 的角度。
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$\hat{A} = 20^{\circ}$
图中，三角形$ABC$为等边，三角形$CDB$为等腰。计算$2x + y$的值，即$B\hat{C}D = x$和$A\hat{B}D = y$。
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$2x + y = 195^{\circ}$
考虑三角形 $ABC$，其中 $AB = AC = 5$ cm 和 $BC = 7$ cm。在边 $\overline{BC}$ 上取一点 $D$，使得 $BD = 3$ cm 并通过点 $D$ 我们分别绘制与 $\overline{AC}$ 和 $\overline{AB}$ 平行的 $\overline{DE}$ 和 $\overline{DF}$，其中 $E$ 在 $\overline{AB}$ 中，$F$ 在 $\overline{AC}$ 中。计算 $AEDF$ 的周长。
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10 厘米
从图中我们知道$AB = AC$、$\hat{A} = 100^{\circ}$和$AD = BC$。确定$x = C\hat{B}D$。
看书上的解决办法
- 让我们指出$AB = AC = b$和$CD = a$；然后$BC = AD = a + b$。
- 让我们用$AP = b$画$\overline{AP}$，这样$B\hat{A}P = 60^{\circ}$：三角形$APB$是等边，一侧是$b$。
- 在三角形 $PAD$ 和 $ABC$ 中：$PA = AB = b$、$P\hat{A}D = 100^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ} = A\hat{B}C$ 和 $AD = BC$。在 LAL 情况下，它们是一致的。然后是$PD = AC = b$和$A\hat{P}D = B\hat{A}C = 100^{\circ}$。
- $PD = b = PB$、$\triangle PBD$是等腰。其中$\hat{P} = 60^{\circ} + 100^{\circ} = 160^{\circ}$，然后是$P\hat{B}D = P\hat{D}B = 10^{\circ}$。
- 最后，根据$A\hat{B}P = 60^{\circ}$、$D\hat{B}P = 10^{\circ}$和$C\hat{B}A = 40^{\circ}$，我们得出$x = C\hat{B}D = 10^{\circ}$。