Euler's Eyes
2026-10-11
4 章中的练习 — 三角形
练习和决议
练习 80 — 分类为真 (V) 或假 (F)
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所有 等腰三角形 都是 等边。
Falso. 等腰三角形可以具有与其他边不同的底边。
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所有 等边三角形 都是等腰。
Verdadeiro. 它有（至少）两个一致的侧面。
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不等边三角形 可以是等腰。
Falso. 斜角没有两个全等的边。
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每个等腰三角形都是一个锐角三角形。
Falso. 有等腰矩形和钝角。
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每个直角三角形都是 不等边三角形。
Falso. 等腰矩形（45°、45°、90°）是一个反例。
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有直角三角形和等腰三角形。
Verdadeiro. 双腿一致。
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有等腰三角形钝角。
Verdadeiro. 钝顶角，如120°、30°、30°。
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每个锐角三角形要么是等腰三角形，要么是 等边。
Falso. 存在不等角直角，例如50°、60°、70°。
练习 81 — 分类为真 (V) 或假 (F)
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所有 等腰三角形 都是一致的。
Falso. 它们可以具有不同的尺寸和形状。
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所有 等边三角形 都是一致的。
Falso. 它们具有相同的形状，但大小不同。
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所有直角三角形都是全等的。
Falso. 导管可能有所不同。
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所有等腰直角三角形都是全等的。
Falso. 西貒的大小各不相同。
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所有锐角三角形都是全等的。
Falso. 显然不是。
如果$\triangle ABC$以$\overline{BC}$为底等腰，则确定$x$，即$AB = 2x - 7$和$AC = x + 5$。
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$x = 12$
三角形$ABC$是等边，具有$AB = 15 - y$、$BC = 2x - 7$和$AC = 9$。确定$x$和$y$。
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$x = 8$ e $y = 6$
若$\triangle ABC$以$\overline{BC}$为底等腰，则求$BC$，即$AB = 3x - 10$、$BC = 2x + 4$、$AC = x + 4$。
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$BC = 18$ ($x = 7$)
如果$\triangle ABC$以$\overline{BC}$为底等腰，则确定$x$，即$\hat{B} = 2x - 10^{\circ}$和$\hat{C} = 30^{\circ}$。
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$x = 20^{\circ}$
如果$\triangle ABC$以$\overline{AC}$为底等腰，则确定$x$，即$\hat{A} = x + 30^{\circ}$和$\hat{C} = 2x - 20^{\circ}$。
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$x = 50^{\circ}$
如果$\triangle ABC$以$\overline{BC}$为底等腰，则确定$x$和$y$。
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$x = 85^{\circ}$ e $y = 50^{\circ}$
确定$x$和$y$，已知三角形$ABC$是等边。
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a) $x = 4$ e $y = 9$ · b) $x = 4$ e $y = 3$
如果 等边三角形 的周长是 75 厘米，那么每条边的长度是多少？
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25 厘米
如果 等腰三角形 的周长为 100 米，底边尺寸为 40 米，则其他边各长多少？
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30 m e 30 m
在下列情况下确定三角形 $ABC$ 的周长：
a) 等边三角形 与 $AB = x + 2y$、$AC = 2x - y$ 和 $BC = x + y + 3$； b) 等腰三角形 基 $\overline{BC}$ 与 $AB = 2x + 3$、$AC = 3x - 3$ 和 $BC = x + 3$。
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a) 45 · b) 39
在 等腰三角形 中，半周长为 7,5 米。计算这个三角形的边，知道全等边的总和是底边的四倍。
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3 m, 6 m e 6 m
每个项目的三角形对都是全等的。指出一致的情况。 （相等的虚线表示相等的边；相等的弧表示相等的角度。）
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a) LAL · b) LLL · c) LAAₒ · d) LAAₒ · e) LAAₒ · f) LAL、ALA 或 LAAₒ · g) 特殊情况
考虑三角形 $T_1, T_2, \ldots, T_{12}$。找到全等三角形对并指出全等的情况。 **播放：**单击两个三角形以形成一对。
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$T_1 \equiv T_8$ (LAL) · $T_2 \equiv T_7$ (LAL) · $T_3 \equiv T_5$ (LAL) · $T_4 \equiv T_{11}$ (ALA) · $T_6 \equiv T_{10}$ (LLL) · $T_9 \equiv T_{12}$ (LAAₒ)
在情况 a)、b) 和 c) 中，选择全等三角形并指出全等的情况。
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a) I = II (LAL) · b) I = III (ALA) · c) I = III（特殊情况）
指出下图中的全等三角形，并引用全等的情况。在c)中，$\overline{AC} \equiv \overline{DF}$和$\overline{AB} \equiv \overline{DE}$。
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a) $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$ (LAL) · b) $\triangle ACB \equiv \triangle ECD$ (LAAₒ) · c) $\triangle CAB \equiv \triangle FDE$ (LAL) · d) $\triangle EBA \equiv \triangle ECD$ (LLL) 或 $\triangle ECA \equiv \triangle EBD$ (LLL)
为什么 ALL 或 LLA 不是三角形之间全等的情况？
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因为存在全等（或 LLA）全等和不全等的三角形。看到“LLA”了吗？在全等图中：三角形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$和$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime\prime}$有公共$\hat{B}$，公共$\overline{AB}$和$\overline{AC} \equiv \overline{AC^{\prime\prime}}$但有$\overline{BC} \neq \overline{BC^{\prime\prime}}$。
图中，三角形$ABC$与三角形$DEC$全等。确定$\alpha$和$\beta$，分别为$\hat{A} = 3\alpha$、$\hat{B} = \beta + 48^{\circ}$、$\hat{E} = 5\beta$和$\hat{D} = 2\alpha + 10^{\circ}$。
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$\alpha = 10^{\circ}$ e $\beta = 12^{\circ}$
图中，三角形$ABD$与三角形$CBD$全等。计算$x$和$y$以及三角形$ACD$的边，即$AB = x$、$BC = 2y$、$CD = 3y + 8$和$DA = 2x$。
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$x = 16$, $y = 8$ e $AD = CD = AC = 32$
图中，三角形$CBA$与三角形$CDE$全等。确定$x$和$y$的值以及这些三角形的周长之比，即$AB = 35$、$AC = 2x - 6$、$CE = 22$和$DE = 3y + 5$。
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$x = 14$、$y = 10$和周长之间的比率是1。
图中，三角形$PCD$与三角形$PBA$全等。确定$x$和$y$以及三角形周长$PCA$和$PBD$之间的比率，即$AB = 15$、$CD = x + 5$、$AP = 2y + 17$和$PD = 3y - 2$。
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$x = 10$、$y = 19$和周长之间的比率是1。
图中，三角形$ABC$和$CDA$全等。计算$x$和$y$。
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$x = 60^{\circ}$ e $y = 9^{\circ}$
图中，已知$C$是$\overline{BE}$的中点，证明三角形$ABC$和$DEC$全等。
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使用 ALA：$\hat{B} \equiv \hat{E}$（直）、$\overline{BC} \equiv \overline{CE}$ 和 $B\hat{C}A \equiv E\hat{C}D$（o.p.v.）。
图中，已知$\alpha \equiv \beta$和$\gamma \equiv \delta$，证明三角形$ABC$和$CDA$全等。
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使用 ALA：$\alpha \equiv \beta$、$\overline{AC}$ 公共和 $\gamma \equiv \delta$。
如果$\alpha \equiv \beta$和$\varphi \equiv \theta$，证明三角形$ABC$与三角形$ABD$全等。
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使用 ALA：$\alpha \equiv \beta$、$\overline{AB}$ 公共和 $\varphi \equiv \theta$。
图中，为$\overline{BF} \equiv \overline{CD}$、$m(A\hat{B}C) = m(F\hat{D}E)$、$m(B\hat{A}C) = m(D\hat{E}F)$，证明$\overline{AC} \equiv \overline{EF}$。
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$\triangle CBA \equiv \triangle FDE$ (LAAₒ)：$\overline{BC} \equiv \overline{DF}$（$BF = CD$和$FC$是通用的）、$\hat{B} \equiv \hat{D}$和$\hat{A} \equiv \hat{E}$。
为$\overline{AB} \equiv \overline{AE}$、$m(B\hat{A}D) = m(C\hat{A}E)$、$m(A\hat{B}C) = 90^{\circ}$和$m(A\hat{E}D) = 90^{\circ}$，证明$\overline{BC} \equiv \overline{DE}$。 （书本图片中，$C$和$D$在同一侧，$\overline{AC}$切入$\overline{ED}$。）
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$\triangle BAC \equiv \triangle EAD$ (ALA)：$B\hat{A}C \equiv E\hat{A}D$（将 $C\hat{A}D$ 添加到全等角 $B\hat{A}D$ 和 $C\hat{A}E$…或减去）、$\overline{AB} \equiv \overline{AE}$ 和 $\hat{B} \equiv \hat{E}$（直角）。
证明相对于 等腰三角形 的基数的中位数也是 角平分线。
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使用 LLL：使用 $M$ 基准中点，$\triangle ABM \equiv \triangle ACM$。
证明角平分线相对于等腰三角形的底数也是中位数。
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使用LAL：用$S$脚角平分线，$\triangle ABS \equiv \triangle ACS$，然后$BS = SC$。
证明相对于 等腰三角形 全等边的中位数是全等的。
看书上的解决办法
假设： $\overline{AB} \equiv \overline{AC}$； $\overline{BM}$ 和 $\overline{CN}$ 是中位数。 论文： $\overline{BM} \equiv \overline{CN}$。
在三角形 $BAM$ 和 $CAN$ 中：$\overline{BA} \equiv \overline{CA}$、$\hat{A}$ 是常见的，$\overline{AM} \equiv \overline{AN}$（全等边的一半）。通过 LAL，$\triangle BAM \equiv \triangle CAN$，然后 $\overline{BM} \equiv \overline{CN}$。
证明 角平分线 相对于 等腰三角形 的全等边是全等的。
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对 角平分线 和底边形成的三角形使用 ALA。
证明，如果相对于三角形一条边的 角平分线 也相对于该边的中线，则该三角形是等腰三角形。
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延长中位数：在射线 $\overrightarrow{AM}$ 上取 $P$ 和 $\overline{MP} \equiv \overline{AM}$。然后是 $\triangle AMB \equiv \triangle PMC$ (LAL)，然后是 $B\hat{A}M \equiv C\hat{P}M$ 和 $\overline{AB} \equiv \overline{PC}$。由于$\overline{AM}$是角平分线、$C\hat{P}M \equiv C\hat{A}M$和$\triangle ACP$是等腰：$\overline{AC} \equiv \overline{PC} \equiv \overline{AB}$。
用8厘米、5厘米和18厘米的线段可以构造三角形吗？为什么？ （对三角不等式图进行检验。）
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不，因为条件 $|8 - 5| < 18 < 8 + 5$ 为假。
三角形 $ABC$ 的两条边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 分别为 8 厘米和 21 厘米。知道它是 6 的倍数，第三边可以测量多少？
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18 厘米或 24 厘米
已知三角形的边由$x + 10$、$2x + 4$和$20 - 2x$表示，确定$x$的变化范围。
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$\dfrac{6}{5} < x < \dfrac{26}{3}$
如果 等腰三角形 的两条边的尺寸分别为 38 厘米和 14 厘米，那么第三条边的尺寸是多少？
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38 cm（三角形 14、14、38 不存在）。
三角形$ABC$的边$\overline{AB}$用整数表示。确定其最大值，已知边 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 的尺寸分别为 27 cm 和 16 cm 以及 $\hat{C} < \hat{A} < \hat{B}$。
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15 厘米
证明直角三角形有两个锐角。
看书上的解决办法
考虑外角 $\gamma^{\prime}$ 与直角相邻；它是如何从直肠补充的， $\gamma^{\prime} = 90^{\circ}$。存在 $\alpha$ 和 $\beta$ 非直内角，由外角定理， $\gamma^{\prime} > \alpha$ 和 $\gamma^{\prime} > \beta$。标识 $\alpha < 90^{\circ}$ 和 $\beta < 90^{\circ}$：三角形有两个锐角。
证明直角三角形的斜边大于每条边。
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利用前面的练习：直角是最大的角，最大的边与最大的角相对。
证明钝角三角形有两个锐角。
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以与练习 118 相同的方式，使用与钝角（锐角）相邻的外角。
证明钝角三角形的钝角对边大于其他各边。
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使用上面的：钝角是最大的角。
证明直角三角形的斜边大于边的半和。
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斜边 > 边：$a > b$ 和 $a > c$ $\Rightarrow$ $2a > b + c$ $\Rightarrow$ $a > \dfrac{b + c}{2}$。
证明三角形的任意边都小于半周长。
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由三角不等式，$a < b + c$；添加 $a$: $2a < a + b + c$，然后添加 $a < \dfrac{a + b + c}{2}$。
如果$P$是三角形$ABC$的内点，则证明$B\hat{P}C$大于$B\hat{A}C$。
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延伸 $\overline{AP}$ 直到剪切 $\overline{BC}$。使用外角定理两次：$B\hat{P}C$ 位于包含大于 $\hat{A}$ 的外角的三角形的外部。
如果$P$是三角形$ABC$的内点，则显示$PB + PC < AB + AC$。
看书上的解决办法
延伸 $\overline{BP}$，直到在点 $Q$ 处切割 $\overline{AC}$。令它们为$x = PB$、$y = PC$、$t = PQ$和$b^{\prime} = AQ$、$b^{\prime\prime} = QC$（与$b^{\prime} + b^{\prime\prime} = b$）。根据三角形 $ABQ$ 和 $PQC$ 中的三角不等式：
$$c + b^{\prime} > x + t \quad\text{e}\quad t + b^{\prime\prime} > y.$$添加：$c + b^{\prime} + b^{\prime\prime} + t > x + y + t$，即$c + b > x + y$:$PB + PC < AB + AC$。
如果$P$是三角形$ABC$和$x = PA$、$y = PB$和$z = PC$的内点，则证明$x + y + z$位于三角形的半周长和周长之间。
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使用前面的练习三次（加法，$2(x + y + z) < 2p$）以及三角形 $PAB$、$PBC$、$PCA$ 中的三角不等式（加法，$2(x + y + z) > a + b + c$）。
证明图中三角形$MNP$的周长小于三角形$ABC$的周长。
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考虑三角形 $APN$、$BPM$ 和 $MNC$，并对每个三角形应用三角不等式。
如果 $m_a$ 是相对于具有边 $a$、$b$ 和 $c$ 的三角形的边 $a$ 的中位数，则为 $m_a < \dfrac{b + c}{2}$。
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考虑 $\triangle ACA^{\prime}$，其中 $A^{\prime}$ 是 $A$ 相对于 $\overline{BC}$ 的中点对称：$AA^{\prime} = 2m_a$、$CA^{\prime} = c$。然后是$2m_a < b + c$和$2m_a > |b - c|$。
证明三角形的中线之和小于周长且大于半周长。
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使用之前的结果作为三个中位数并将它们相加。对于其他不等式，请使用 重心 形成的三角形上的三角不等式。