Euler's Eyes
2026-10-11
三角形中的不等式
在每个三角形中，每条边都小于其他两条边的总和。古人曾戏言“驴都知道”。
谁发现的
三角不等式是欧几里得的几何原本的命题I.20（c. 300 BC）；最大边和最大角之间的关系在命题I.18和I.19中。线段是两点之间最短路径的想法很早以前就很直观。欧几里得的优点是根据之前的结果展示它。
故事
普罗克洛斯（公元 5 世纪）说，伊壁鸠鲁派嘲笑欧几里得证明了三角不等式：他们说，即使是驴子也知道通往干草的直线路径比绕过它要短。普罗克洛斯回答说，感知一个事实并不等于知道它为什么是真的。演示表明，结果取决于飞机的属性，因此可能不再适用于其他几何形状，例如地球表面。
20世纪，三角不等式成为定义数学中任何“距离”的三个规则之一。它出现在分析、统计和计算中，远离三角形。
在日常生活中
- **草地上的捷径。**穿过广场和花园的小径表明，人们在实践中知道对角线比两边都短。
- **三根棍子能形成一个三角形吗？**只有当最大的一根棍子小于另外两根棍子的总和时。 2 cm、3 cm 和 6 cm 杆未闭合。
- **送货路线。**物流算法使用三角不等式来排除永远不可能更短的偏差。
- 屋顶。 在一把剪刀中，与最大角度相反的一侧是最长的梁 - 正如命题 I.18 和 I.19 所说。
来源： 元素，命题 I.20 · 元素，命题 I.18 · Proclus (MacTutor)。
理论与结构
Teorema最大角与最大边相对
如果三角形的两条边不相等，则它们相对的角也不相等，最大的角与最大的边相对：$BC > AC \Rightarrow \hat{A} > \hat{B}$。
**倒数：**最大角度与最大边相对：$\hat{A} > \hat{B} \Rightarrow a > b$。
查看演示
**直接。**将$D$与$\overline{CD} \equiv \overline{CA}$一起带入$\overline{BC}$。由于 $BC > AC$、$D$ 位于角度 $C\hat{A}B$ 的内部，因此 $C\hat{A}B > C\hat{A}D$。 $\triangle CAD$ 与底边 $\overline{AD}$: $C\hat{A}D \equiv C\hat{D}A$ 等腰。而$C\hat{D}A$是$\triangle ABD$的外角，因此$C\hat{D}A > A\hat{B}D$。加入：$C\hat{A}B > C\hat{D}A > A\hat{B}C$，即$\hat{A} > \hat{B}$。
**倒数。**如果是$BC < AC$，根据直接定理我们会得到$\hat{A} < \hat{B}$；如果是$BC \equiv AC$，则通过等腰三角形、$\hat{A} \equiv \hat{B}$。两者都与假设相矛盾，因此$BC > AC$。
Teorema三角不等式
在每个三角形中，每条边都小于其他两条边的总和：$a < b + c$。
等效地，每一侧都大于另外两侧的差。三个条件 $a < b + c$、$b < a + c$ 和 $c < a + b$ 总结如下：
$$|b - c| < a < b + c.$$查看演示
在与 $\overline{AD} \equiv \overline{AB}$ 相对的 $\overrightarrow{AC}$ 射线上取 $D$。然后是$DC = AC + AB$（2）。 $\triangle ABD$ 与底边 $\overline{BD}$: $A\hat{D}B \equiv A\hat{B}D$ 等腰。由于 $A$ 位于角度 $C\hat{B}D$ 的内部，因此我们有 $C\hat{B}D > A\hat{B}D \equiv C\hat{D}B$。在$\triangle BCD$中，最大角度与最大边相对：$BC < DC$。与 (2)、$BC < AC + AB$。