1981 年，马萨诸塞大学的三位研究者约翰·克莱门特、杰克·洛克黑德和乔治·蒙克给工科一年级学生出了一道简单的题：

用变量 $S$ 和 $P$ 写一个方程，表示下面这句话：“这所大学的学生人数是教授人数的六倍。”用 $S$ 表示学生人数，用 $P$ 表示教授人数。

大约 37% 的人答错了。而几乎所有答错的人都写了同一个式子：

$$6S=P.$$

为什么 6S = P 看起来是对的

方程 $6S=P$ 遵循的是词语的顺序：“六倍……学生……教授”。这是逐词翻译，就像不理解句子就去翻译一篇文章。它背后是把字母读作标签：$S$ 的意思是“学生”，就像在 $6\,\text{m}$ 中 m 的意思是“米”。这样读，$6S=P$ 说的是“每位教授对六名学生”，这恰恰是正确的想法。

问题在于，在方程里 $S$ 不是“学生”这个词：它是学生的人数。有 $P=100$ 位教授，就有 $600$ 名学生，正确的方程必须给出 $S=600$：

$$S=6P.$$

要检验，只需代入数字：$P=100$ 时，错误的方程会给出 $6S=100$，也就是不到 $17$ 名学生。把字母当标签是一种自然的读法，它来自日常语言和计量单位，必须被“忘掉”。

屈赫曼的六种读法

同一年，英国研究者迪特马尔·屈赫曼（Dietmar Küchemann）发表了一项针对 13 到 15 岁学生的大型研究，即 CSMS 项目的结果。他指出，学生对字母至少有六种不同的解释，从最简单到最高级：

字母的读法 学生怎么做 示例题目
给字母赋值 一上来就给字母一个值 若 $a+5=8$，$a$ 等于多少？
不理会字母 不看字母就把题解了 若 $e+f=8$，$e+f+g$ 等于多少？
字母作为物体 把字母当成一样东西 $2a+5b+a$“是 3 个苹果和 5 根香蕉”
特定的未知数 接受字母是一个未知的数 若 $e+f=8$，则 $e+f+g=8+g$
推广的数 接受字母可以是好几个数 若 $c+d=10$ 且 $c
变量 把两个字母如何一起变化联系起来 $2n$ 和 $n+2$ 哪个大？

前三种读法能让学生在完全不懂代数的情况下答对很多题。只有从第四种开始，字母才成为一个数。屈赫曼发现，大多数 13 岁的学生达不到这一步。

水果代数

许多老师用一个形象来教合并同类项：“$3a+2b+a$ 是 $3$ 个苹果、$2$ 根香蕉，再加 $1$ 个苹果，所以是 $4a+2b$。”答案是对的，但这个形象强化的恰恰是导致 $6S=P$ 的读法：把字母当作一样东西的缩写。用同样的形象，$a\cdot b$ 毫无意义（苹果乘香蕉是什么？），而 $a=2b$ 好像在说“一个苹果是两根香蕉”。研究者把这种策略称为水果代数，并建议避免使用。

其他陷阱

  • 把数字拼在一起。 如果 $x=3$，$2x$ 等于多少？有些学生回答 $23$。在算术里，把一个数字写在另一个旁边会组成一个数；在代数里，把一个数写在字母旁边表示相乘。这和第 2 章讨论过的空白的歧义是同一回事。
  • 不同的字母，不同的数。 面对 $x+y=10$，许多学生认为 $x$ 和 $y$ 不可能相等，因为“如果相等，就会用同一个字母”。但 $x=y=5$ 是完全合法的解。
  • 字母永远只是一样东西。 学过 $x$ 是“要找的那个数”的人，会觉得 $y=2x+1$ 很奇怪，因为其中的 $x$ 没有唯一的值；更奇怪的是 $f(x)$，其中的 $x$ 是一个哑字母。
练习：2n 和 n + 2 哪个大？

取决于 $n$。当 $2n=n+2$，即 $n=2$ 时，两者相等。$n>2$ 时 $2n$ 大（$n=5$：$10$ 对 $7$）。$n<2$ 时 $n+2$ 大（$n=0$：$0$ 对 $2$）。回答“$2n$，因为乘法会变大”的人，是把 $n$ 当成了某个特定的大数，而不是变量。

练习：翻译时不要颠倒

“停车场里汽车的数量是摩托车的四倍。”用 $C$ 和 $M$ 表示汽车和摩托车的数量。正确的方程是 $C=4M$。用数字检验：如果有 $10$ 辆摩托车，就有 $40$ 辆汽车，而 $40=4\cdot10$。逐词翻译 $4C=M$ 会给出 $10$ 辆摩托车对 $2.5$ 辆汽车，与题意相反。

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