如果数学记号是一种透明的代码，有一本词典就够了：$+$ 表示“加”，$=$ 表示“等于”，仅此而已。这一章说明了事情并非如此。同一道横线，可能是运算，也可能是一个数的名字；等号是天平而不是箭头；空白在 $ab$ 中表示相乘，在 $23$ 中却不是；根号只给出一个值，尽管方程有两个解。读数学，就是为每个公式重建书写、对象和规则之间的关系。

这篇文章把本章的工具汇集成一份实用指南。

面对陌生公式的七个问题

  1. 写了什么？ 看看符号、字母、每个符号的位置（上、下、相连、分开）和组合方式。这是句法。
  2. 需要知道哪些约定？ 运算顺序、特定字母的意义（$\pi$、$e$、$i$）、该领域的记号。如果某个约定不是通常的那种，文中应当说明。
  3. 表达式指的是什么对象？ 一个数、一个函数、一个集合、一个命题？在什么范围内？这是语义。
  4. 它要我做什么？ 计算、求解、证明、比较、作图？“求 $x$”和“设 $x$ 为任意数”要求的是相反的事。这是语用。
  5. 哪些变换是允许的？ 计算的每一步都需要一条许可它的规则，有时还需要一个前提：除以 $a$ 要求 $a\ne0$；$\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ 要求 $a,b\ge0$。
  6. 同样的内容有没有别的语域？ 图形、表格、句子、图像？各自最能显示什么？
  7. 这种表示隐藏了什么？ 图形不一定按比例；表格只显示部分值；公式可能隐藏前提；图像的刻度可能被拉长。

能动的记号的检验

从本书第一篇文章起，我们就在使用能动的记号与贫瘠的记号这一对概念。借助皮尔斯的工具，可以把它变成一个包含三个问题的检验：

  • 形状是否复现了对象的关系？ $\frac{dy}{dx}$ 有比的形状，因为导数是比的极限。$\dot y$ 什么也没有复现。
  • 看着它，能否发现原本没有刻意放进去的东西？ 这是皮尔斯判断像似符的标准。位值制让人看出 9 的乘法表的规律；罗马数字不能。
  • 它在新问题上是否依然管用？ 凯莱为线性方程组创造的矩阵，后来被用于旋转、量子力学和计算机。

还有一个提醒，欧拉的平方根已经说得很清楚：能动的记号也会提示错误的步骤。形状越是诱人，就越要知道规则在多大范围内成立。

对 dy/dx 的完整解读

最后，用七个问题来读一读 $\dfrac{dy}{dx}$：

  1. 书写： 两个表达式 $dy$ 和 $dx$，用分数线上下叠放。
  2. 约定： $d$ 不是乘以 $y$ 的变量，而是莱布尼茨的算子，取自 differentia。
  3. 对象： $y$ 对 $x$ 的导数，今天定义为一个极限：$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$。
  4. 它要求什么： 取决于上下文；可能是计算变化率、求切线、建立微分方程。
  5. 变换： 分数的形状允许链式法则和积分中的换元，但并不允许一切对普通分数成立的操作。
  6. 其他语域： 图像在该点切线的斜率；拉格朗日的记号 $y'$；如果变量是时间，还有牛顿的 $\dot y$。
  7. 它隐藏了什么： 极限是存在的（并非每个函数都有导数）；单独的 $dy$ 和 $dx$ 只在更高深的理论中才有严格的意义。

一个只有五个字符的记号，承载着三百年的历史、一个定义、一组规则，以及至少三种画法。

术语表

符号： 对某人来说代表另一样东西的东西。

能指与所指： 在索绪尔那里，符号被感知的形式以及它唤起的概念。

任意性： 能指与所指之间没有任何自然的理由；$+$ 并不像和。

句法、语义与语用： 在莫里斯那里，符号彼此之间的关系、符号与对象的关系、符号与使用者的关系。

解释项： 在皮尔斯那里，符号产生的意义效果，它本身又是一个新的符号。

符号过程： 符号产生解释、解释又产生其他符号的持续过程。

像似符、指示符与规约符： 在皮尔斯那里，分别靠相似、靠事实联系、靠约定来代表的符号。

表征语域： 在杜瓦尔那里，有自身规则的符号系统：自然语言、代数、表格、图像、图形。

处理： 在同一个语域内部的变换，比如解方程。

转换： 从一个语域到另一个语域的过渡，比如由公式画出图像。

能动的记号与贫瘠的记号： 本书（以及本站早期文章，它们称之为 mirabilis abbreviatio）的术语，分别指帮助人发现新关系的书写，以及只记录已知内容的书写。

练习：把指南用于 Σ

读 $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}k^2$。

  1. 一个大 $\Sigma$，下面是 $k=1$，上面是 $4$，右边是 $k^2$。
  2. 欧拉的约定：$\Sigma$ 表示求和；$k$ 是一个下标，取遍从 $1$ 到 $4$ 的整数。
  3. 对象是一个数：$1+4+9+16=30$。
  4. 它要求计算。
  5. 比如，可以把常数提到外面：$\sum 3k^2=3\sum k^2$。
  6. 换一个语域：边长为 $1$、$2$、$3$、$4$ 的四个正方形的面积之和。
  7. 它隐藏了 $k$ 是一个“哑变量”：$\sum_{j=1}^4 j^2$ 完全是同一回事。
练习：能动的还是贫瘠的？

比较“a 加 b 的和的平方”的两种写法：一句中文和 $(a+b)^2$。在公式中，把 $b$ 换成 $-b$ 马上得到 $(a-b)^2$，展开式 $a^2+2ab+b^2$ 毫不费力地变成 $a^2-2ab+b^2$。在句子中，同样的发现需要把一切重写一遍。公式通过了第二和第三项检验；句子作为计算用的书写，是贫瘠的。但对于把公式说给还不认识它的人听，句子仍然是最好的书写。

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