Euler's Eyes
2026-10-13
皮尔斯：像似符、指示符与规约符
查尔斯·桑德斯·皮尔斯（1839–1914）同时是化学家、天文学家、大地测量学家、逻辑学家和哲学家。他为美国海岸测量局测量地球重力达三十年之久；他独立于弗雷格，创造了一套表示逻辑量词的记号；在剩下的时间里，他建立了二十世纪最有影响的符号理论。他在宾夕法尼亚州的一所房子里贫困而终，留下数万页手稿，至今仍在整理出版。
皮尔斯是逻辑学家，也像逻辑学家那样思考。对他来说，符号学是“广义的逻辑”，他的思想用在数学上再合适不过。
是三，不是二
索绪尔认为符号有两面：能指和所指。皮尔斯则看到三个要素：
- 符号（或称再现体）：被感知到的东西，比如纸上的记号 $\pi$；
- 对象：符号所指的东西，即圆周与直径之比；
- 解释项：符号在读者身上产生的效果，它唤起的理解。
解释项不是读者本人，而是符号所引起的思想；这个思想本身又是一个新的符号，又能引起另一个思想，如此循环往复。看到 $2+3=5$，读者可能认出这是一个等式，可能用它来检验一个计算，也可能把它放进一个证明里。符号是同一个，解释项却取决于正在做的事情。皮尔斯把这个无尽的过程称为符号过程（semiosis）。
像似符、指示符与规约符
皮尔斯最有名的分类，是按照符号与对象联系的方式来区分符号：
- 像似符（icon）靠相似来代表：肖像、地图、图形。画出来的三角形是三角形的像似符。
- 指示符（index）靠事实上的联系来代表：烟指示火，脚印指示有人经过，箭头指向一个地方。在图形中，顶点旁边的字母 $A$ 是指示符：它指着说“就是这个”。
- 规约符（symbol）靠约定或习惯来代表：文字、数字、$+$。只有学会了规则的人，它才起作用。
乍看之下，几乎每个数学符号都是皮尔斯意义上的规约符，而惊奇恰恰在这里。
每个方程都是像似符
皮尔斯意识到，这种分类不是一个符号一个符号地适用，而是适用于整个表达式。方程中的符号是规约符，但方程作为一个整体是像似符：它的形状复现了量与量之间关系的形状。他写道：
像似符的一个重大特征是：通过直接观察它，可以发现关于其对象的、超出构造它所需的那些真理之外的其他真理。[……]每个代数方程都是像似符，因为它借助代数符号（它们本身并不是像似符）展示了相关各量之间的关系。
— 查尔斯·S·皮尔斯，《皮尔斯文集》2.279 与 2.282（约 1893–1903）
第一句话是对本书所谓能动的记号最好的定义。当我们看着一种书写，就能发现原本并没有刻意放进去的东西时，这种书写就是能动的。莱布尼茨的链式法则是完美的例子：没有人为了让 $dy$ 约掉才画出 $\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}$，但形状就在那里，看着它的人就发现了这条法则。
再看一个古老得多的例子。画一个边长为 $a+b$ 的正方形，把每条边分成 $a$ 和 $b$ 两段：
$$(a+b)^2 \;=\; \underbrace{a^2}_{\text{大正方形}} + \underbrace{ab+ab}_{\text{两个长方形}} + \underbrace{b^2}_{\text{小正方形}} \;=\; a^2+2ab+b^2.$$图形是这个恒等式的像似符：看着它，我们就看到有两个长方形，那么多学生忘掉的 $2ab$ 正是从这里来的。公式也是像似符，只是方式不同：它的形状让人看出，把 $b$ 换成 $-b$ 就得到 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，什么也不用画。
三种方式并存
在实践中，三种方式是混合在一起的。笛卡儿坐标图是像似的（曲线有着函数变化的形状），是指示的（每个标出的点都指向一对数值），也是规约的（坐标轴、刻度和标签都是约定）。这就是图像会误导人的原因：它像似的形状，似乎比约定所保证的说得更多。一条看似碰到坐标轴的曲线，可能是从它上方稍稍掠过；拉长的刻度，可以把一点小小的增长变成陡峭的攀升。
皮尔斯并没有给出一张给符号分类的表格，他给出的是阅读符号的问题。面对一种表示时，值得问：它保留了对象的什么？它省略了什么？需要知道哪些约定？最重要的是：看着它，能发现什么新的真理？
练习：像似符、指示符还是规约符？
在一幅 $y=x^2$ 的图像中，标出了点 $P=(2,4)$，并有一个箭头指向它：
- 画出的抛物线是像似符（它有着这一关系的形状：对称，在原点取最小值）；
- 箭头和字母 $P$ 是指示符（它们指向一个特定的点）；
- 刻度上的数字和旁边写着的 $y=x^2$ 是规约符（它们依赖于约定）。
而表达式 $y=x^2$ 作为一个整体来读，在皮尔斯的意义上也是像似的：它的形状表明，把 $x$ 换成 $-x$ 不会改变 $y$，这正是抛物线的对称性。
练习：在像似符中发现真理
利用边长为 $a+b$ 的正方形，不做乘法算出 $11^2$。取 $a=10$、$b=1$：$11^2=100+2\cdot10+1=121$。那么 $21^2$ 呢？$a=20$，$b=1$：$400+40+1=441$。原本只是一个图形的恒等式，变成了一种心算方法——这条真理并没有“写”在图里，而是看着它发现的。