集合的划分是一个非常重要的课题，尤其是在概率论、Lesbegue积分等中。在上一篇文章中，我们看到了等价关系，它们与集合划分的概念直接相关。

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定义

定义（分区） 令 $A$ 为非空集合 ($A\neq \emptyset$) 和 $A$ 的非空子集族 $\mathcal{F}$。如果以下陈述成立，则 $A$ 的分区定义有效：

  • (a) $\mathcal{F}$ 的任意两个元素相等或不相交；
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  • (b) $\mathcal{F}$ 元素的并集等于 $A.$
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示例

示例 1： 系列 $\mathcal{F} = \\{ \\{1\\}, \\{2\\}, \\{3, 4\\} \\}$ 是集合 $A = \\{1, 2, 3, 4\\}.$ 的一个分区

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**示例2：**设$A=\mathbb{Z}$，族$\mathcal{F} = \\{ 3\mathbb{Z}, 3\mathbb{Z} + 1, 3\mathbb{Z} + 2 \\}$是集合$A.$的一个分区

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**示例3：**设$A=\mathbb{R}$，族$\mathcal{F} = \\{ (-\infty,-1), [-1,1], (1,+\infty) \\}$是集合$A.$的一个分区

接下来，我们有理查德·戴德金 (Richard Dedekind)，他负责 Dedeking 割断、实数构造 ($\mathbb{R}$)。

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等价关系决定集合划分

下面我们给出一个结果，显示等价关系如何确定集合的划分。

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定理（等价关系决定集合的划分） 如果 $\mathcal{R}$ 是非空集合 $A$ 上的等价关系，则 $A/\mathcal{R}$ 是 $A.$ 的划分

演示：

首先请注意，通过分区定义，我们必须表明 $A/\mathcal{R}$ 的每个元素都非空，并且定义的属性 (a) 和 (b) 成立。

对于每个 $\overline{a} \in A/\mathcal{R}$，由于 $\mathcal{R}$ 是自反的，我们有 $a \in \overline{a}.$ 因此，我们有 $\overline{a}\neq \emptyset.$

  • (a) 对于 $A/\mathcal{R},$ 中的每个 $\overline{a}$ 和 $\overline{b}$ 我们有 $\overline{a} \cap \overline{b} = \emptyset$ 或 $\overline{a} = \overline{b}.$

现在，假设 $\overline{a} \cap \overline{b} \neq \emptyset$ 是 $x \in \overline{a} \cap \overline{b}$。然后是$x \in \overline{a}$和$x \in \overline{b}$。

根据等价类的定义，我们有$x \mathcal{R} \overline{a}$和$x \mathcal{R} \overline{b}$。

根据 $\mathcal{R}$ 是对称且传递的事实，我们得到 $a\mathcal{R} b.$

根据上一篇文章中定理的等价，我们有 $a = b,$，它显示 (a)。

  • (b) 现在的目标是显示第 (b) 项，即：
$$\bigcup_{a \in A}\overline{a} = A$$

等效地：

$$\bigcup_{a \in A}\overline{a} \subseteq A \quad \text{e} \quad \bigcup_{a \in A}\overline{a} \supseteq A $$

对于每个 $a \in A.$，包含 $\bigcup_{a \in A}\overline{a} \subseteq A$ 显示为 $a \subseteq A$

相反，令 $x \in A,$ 和 $x\mathcal{R}x,$ 为 $x \in \overline{x},$，这意味着 $\bigcup_{a \in A}\overline{a}$

因此：

$$\bigcup_{a \in A}\overline{a} \supseteq A $$

$\square$

集合的划分确定等价关系

下面我们给出一个结果，显示集合的划分如何确定等价关系。

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定理（集合的划分决定等价关系） 设 $A$ 为非空集合，$\mathcal{F}$ 为 $A,$ 的划分，则 $\mathcal{R}$ 与 $A$ 之间存在等价关系，使得 $A/\mathcal{R} = \mathcal{F}.$

演示：

对于所有 $a, b \in A,$，我们通过以下方式定义 $\mathcal{R}$：

$$a\mathcal{R} b \quad \Longrightarrow \quad \text{ existe } X \in \mathcal{F} \text{ tal que } a, b \in X.$$
  • (Part 1) 表明$\mathcal{R}$是一个等价关系，我们将其分为3项：

(1) 对于自 $\bigcap \mathcal{F} = A,$ 以来的每个 $a \in A,$，都有一个 $X \in \mathcal{F}$，使得 $a \in X.$

因此，表示$\mathcal{R}$的$a\mathcal{R}a,$是自反的。

(2) 对于 $a, b \in A,$，如果 $a\mathcal{R}b,$，则根据 $\mathcal{R},$ 的定义，存在一个元素 $X \in \mathcal{F},$，使得 $a, b \in X,$ 意味着 $b\mathcal{R} a.$

因此，$\mathcal{R}$是对称的。

(3) 如果 $a, b, c \in A $ 使得 $a\mathcal{R} b$ 和 $b\mathcal{R} c$ 满足，则存在 $X, Y \in \mathcal{F}$ 使得 $a, b \in X$ 和$b, c \in Y .$

因此，$b \in X \cap Y$，即$X \cap Y \neq \emptyset.$

由于 $\mathcal{F}$ 是一个分区，因此我们有 $X = Y$，然后是 $a, c \in X = Y $

因此 $a\mathcal{R} c.$

  • （部分 2） 现在显示 $A/\mathcal{R} = \mathcal{F}.$

给定 $a \in A,$，我们有一个唯一的 $X \in \mathcal{F},$，使得 $a \in X,$，其中唯一性从属性 (a) 得出，对于 $\mathcal{F}.$ 成立

根据 $\mathcal{R}$ 的定义，我们得到 $\overline{a} = X,$，这意味着 $A/\mathcal{R} \subseteq \mathcal{F}.$

另一方面，对于每个 $X \in F,$ 和 $X 6\neq \emptyset,$，我们有 $a \in X.$

因此$X = \overline{a},$表明$A/\mathcal{R} \supseteq \mathcal{F}.$

$\square$

应用

示例 4： 给定 $A = \\{a, b, c, d, e, f\\},$ 的分区 $\mathcal{F} = \\{\\{a, b\\}, \\{c\\}, \\{d, e, f\\}\\}$，我们有关联的等价关系。

$$\mathcal{R} = \\{(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c),(d, d),(d, e),(d, f),(e, d),(f, d),(e, e),(e, f), (f, e),(f, f)\\}.$$ 收藏

这是等价关系的总结。等待接下来的帖子。