在集合论中，我们可以讨论的主题之一是两个集合的笛卡尔积。在其中我们讨论有序对、对公理和笛卡尔积。

欧几里得的作品。

订购一对

在讨论两个集合的笛卡尔积的主题之前，我们需要讨论有序对。

欧几里得的作品。

令$A$和$B$为任意两个集合。对于 $a \in A$ 和 $b \in B,$ 并使用规范公理我们可以构造集合

$$\\{a, b\\} = \\{x;\quad x = a \text{ ou } x = b\\}.$$
请注意，设置为 $\\{a, b\\} = \\{b, a\\}.$

对于有序对的概念，在具有两个给定元素的集合中，有必要知道哪个是第一个元素，哪个是第二个元素。

为此，我们需要确保该对也是一个元素。这是 由以下公理。

**配对公理：**对于任何两个集合，都有一个它们都属于的集合。

欧几里得的作品。

该公理保证了下面定义的集合的存在：

**定义（有序对）：**用$(a, b)$表示的$a$和$b,$的有序对，其中第一坐标$a$和第二坐标$b$是集合

$$(a, b) = \\{a, \\{a, b\\}\\}.$$

两组的笛卡尔积

**定义（两个集合的笛卡尔积）：**给定两个集合 $A$ 和 $B,$，$A$ 和 $B,$ 的笛卡尔积用 $A\times B$ 表示，是该集合

$$A \times B = \\{x;\quad x = (a, b) \text{ para algum } a \in A \text{ e algum } b \in B \\}.$$
欧几里得的作品。
请注意，通常 $(a, b) \neq (b, a)$ 和 $A \times B \neq B \times A.$

有了这些定义，让我们看看集合之间的这种新操作的行为方式。

笛卡尔积的结果

欧几里得的作品。

定理 设 $A, B$ 和 $C$ 为任意集合。所以我们有：

  • (a) $A \times \emptyset = \emptyset × A = \emptyset.$
  • (b) $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C).$
  • (c) $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C).$
  • (d) $A \times (B − C) = (A \times B) − (A \times C).$

演示：

  • (a) 根据笛卡尔积的定义，我们有
$$ A \times \emptyset = \\{(a, b); a \in A \text{ e } b \in \emptyset \\}.$$

由于不存在 $b \in \emptyset,$，因此不存在第二个坐标为 $b,$ 的有序对，如 $A \times \emptyset = \emptyset.$

另一个等式类似。

  • (b) 请注意，这里我们可以假设 3 集合与空集合不同，否则从 (a) 项可以轻松证明。 对于 $a \in A$ 和 $x \in (B \cap C),$，我们从笛卡尔积的定义可以得出：
$$(a, x) \in A \times (B \cap C) \quad \Longleftrightarrow \quad (a \in A) \wedge (x \in B \cap C)$$

根据交集的定义我们有：

$$(a \in A) \wedge (x \in B \wedge x \in C)$$

由结合性性质可得：

$$(a \in A) \wedge (x \in B) \wedge (x \in C),$$

由$\wedge$的取消性和交换性可知：

$$(a ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (a ∈ A) ∧ (x ∈ C)$$

由结合性性质可得：

$$[(a \in A) \wedge (x \in B)] \wedge [(a \in A) \wedge (x \in C)]$$

从产品的定义来看。笛卡尔：

$$[(a, x) \in A \times B] \wedge [(a, x) \in A \times C]$$

由交集的定义可知：

$$(a, x) \in (A × B) ∩ (A × C)$$

这表明(b)项相等。

(c) 和 (d) 项相等的证明留作练习。 :喜悦::喜悦::喜悦:

$\square$

欧几里得的作品。

这是集合的笛卡尔积的总结。等待接下来的帖子。