Euler's 歐拉的眼睛
2022-08-20
原始观念
在这篇文章中，我们将研究数学的基本元素，它们是数学元素的基础。本章主要讨论集合论，不过，让我们慢慢来。在每篇文章中，我们都会稍微讨论一下这个复杂而密集的理论。
在集合论中，有必要有一些原始概念：
- 集合的原始概念。
- 成员资格的原始概念，我们使用符号属于$\in$。
关联
关联上，集合之间的关系可以建立如下：
- 如果 $x$ 是一个元素并且 $A$ 是一个集合。
- 表达式 $x \in A$ 的含义是：
- “$x$ 属于 $A$”
- “$x$ 在 $A$ 中”
前面描述的$x$被定义为元素。
示例相关性
一本书属于图书馆套。
定义
定义 1： 设 $A$ 和 $x$ 为集合，使得 $x\in A,$ 和 $x$ 被称为元素。更具体地，$x$是$A$的元素或者$x$属于$A$。
**注意：**定义的否定，即x不是$A,$的元素，我们写为$x \notin A,$，意思是“$x$不属于$A$”。
这对集合和成员资格是我们在处理集合和元素时必须牢记的第一个原始概念。
使用的约定是使用大写字母表示集合，使用小写字母表示元素。
接下来我们定义集合相等的概念。
**定义2：**设两个集合$A$和$B$使得$A=B$。在这种情况下，我们说集合 $A$ 等于 $B$，反之亦然。我们象征性地写道：
$$A=B \quad \Leftrightarrow \quad (\forall x)~ [(x\in A \rightarrow x\in B) \wedge (x\in B \rightarrow x\in A)]$$“对于所有 $x$，（$x$ 属于 $A$ 意味着 $x$ 属于 $B$）并且（$x$ 属于 $B$ 意味着 $x$ 属于 $A$）。”
换句话说，当且仅当 $A$ 和 $B$ 具有相同的元素时，我们可以说 $A$ 等于 $B$。
接下来我们提出集合论的第一个公理。
扩展公理
**扩展公理：**如果 $x=y$ 和 $x\in A,$，则 $y\in A$。
包容性
在集合论中，包含的概念很重要，因为某些集合可以包含在其他集合中，即子集的概念。
包容性的定义
定义 3： 设 A 和 B 为集合，我们说：
- $A$ 包含在 $B,$ 中（或 $B$ 包含 $A$）
- 我们用$a \subseteq B$（或$B \supseteq A$）表示它，
- 如果 $A$ 的每个元素都是 $B.$ 的元素
- 在这种情况下，我们也说 $A$ 是 $B.$ 的子集
我们象征性地写道：
$$A \subseteq B \quad \Leftrightarrow \quad (\forall x) (x\in A \rightarrow x \in B).$$
真子集的定义
现在让我们定义我们自己的子集。
定义3：如果$A \subseteq B$和$A$与B不同，我们说$A$是真子集 $B$，我们用$A \subsetneq B$或$A \subset B.$表示
由此，我们得到了本文的第一个命题。
包容性主张
**命题：**设$A, B$和$C$为集合。所以我们有：
1。反光：$A = A$。 2。对称：$A = B \Rightarrow B = A$。 3。传递：$A = B$ 和 $B = C \Rightarrow A = C$。 4。反光：$A \subseteq A$。 5。反对称：$A \subseteq B$ 和 $B \subseteq A \Leftrightarrow A = B$ 6。传递：$A \subseteq B$ 和 $B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C$。
演示：
作为说明，我们将演示一些项目，其余的将作为练习。
- 命题 $x \in A \rightarrow x \in A$ 是一个同义反复，
根据定义 1，我们有 $A = A.$
- 根据定义 1 我们有
现在，根据连接词 $\wedge$ 的交换律和定义 1，我们得到 $B = A.$
- 根据定义 2，我们有 $A \subseteq B \wedge B \subseteq A$ 等价于命题
根据定义 1，它又等于 $A = B$。 $\square$
到目前为止，我们已经详细说明了集合论的一些基本概念。等待接下来的帖子。