Calculemus：用计算来推理

纠正我们推理的唯一方法，是让它们像数学家的推理一样具体可感，使我们一眼就能发现错误；而当人们发生争论时，我们只需说一声：让我们来计算吧！不必多费口舌，就能看出谁是对的。
— 莱布尼茨，《发现的艺术》（1685）

莱布尼茨是律师、外交官和哲学家。他一生目睹了无数永无休止的争论：宗教之间、国家之间、哲学流派之间。而数学家不会争论 $2+2$ 是否等于 4，只会去算。如果推理也能像数字一样被计算呢？

思想的字母表

这个计划分为两部分。

第一部分是一种通用语言，莱布尼茨称之为 characteristica universalis（普遍文字）。在这种语言里，每个简单观念都有一个符号，复杂观念则是这些符号的组合，就像单词由字母组合而成。莱布尼茨 20 岁时在 1666 年的《论组合术》中就开始构思它。

第二部分是一种推理演算，即 calculus ratiocinator：一套操作符号的规则，让人像做加法一样机械地得出正确结论。在那样的世界里，争论可以用纸和笔来解决。

莱布尼茨真的尝试过一个用数字的版本。想法是：给每个简单概念分配一个质数，给每个复合概念分配其组成部分的质数之积。

例如，按照经典定义，“人是理性的动物”。如果动物 $=2$，理性 $=3$，那么人 $=2\times3=6$。

于是，“所有人都是动物”这句话就变成一个算术问题：**2 能整除 6 吗？**能，所以这句话为真。那“所有动物都是人”呢？**6 能整除 2 吗？**不能，所以为假。关于概念的推理变成了一道除法题。

这个系统有严重的问题，它处理不好否定和“有些”这类句子。莱布尼茨知道这一点，并不断尝试其他形式。但核心思想——逻辑可以是代数——已经提出来了。

今天我们用逻辑符号书写推理。考虑关于一个图形的三个命题：

如果 $P\Rightarrow Q$（所有正方形都是矩形）且 $Q\Rightarrow R$（所有矩形的对角线都相等），那么 $P\Rightarrow R$。结论来自论证的形式，根本不需要去想正方形。这正是莱布尼茨想要的：只看符号就能检验推理。

但符号不会创造奇迹。如果前提是错的，计算再正确，结论也可能是错的。而颠倒蕴含关系是常见的错误：由“所有正方形都是矩形”推不出所有矩形都是正方形。

三个命题，每个或真或假，共有 $2^3=8$ 种组合：000、001、010、011、100、101、110、111。注意，这正是 0 到 7 的二进制写法。逻辑与 0、1 构成的数之间的联系，莱布尼茨已有所察觉，两个世纪后它将成为核心。

莱布尼茨关于逻辑的著作几乎全部未发表，直到 19 世纪。尽管如此，这个想法又回来了：

然而在 1931 年，库尔特·哥德尔证明了：没有任何规则系统能判定数学中的所有真理。莱布尼茨完整的梦想是不可能实现的。但其中可能的那一部分就存在于每台电脑里：一个按规则操作符号的机械装置。

练习：由 P ⇒ Q 能推出 Q ⇒ P 吗？

不能。所有正方形都是矩形，但并非所有矩形都是正方形。一个蕴含的逆命题需要单独证明。

练习：在质数系统中，“动物” = 2，“理性” = 3，“会死” = 5。“会死的人”用哪个数表示？它是“动物”吗？

“会死的人” $=2\cdot3\cdot5=30$。由于 2 能整除 30，“所有会死的人都是动物”在该系统中为真。

资料来源： 莱布尼茨、逻辑与哲学，MacTutor。