Euler's Eyes
2022-11-27
分散措施
离散度测量是基础，因为与数学不同，统计学使用随机变量。例如，大媒体使用确定性值，例如候选人 A 具有 45%，B 具有 30%。数学方面，A显然领先，但统计方面，我不知道。今天，当他们谈论“误差幅度”时，他们以统计方式呈现它。如果“误差幅度”为 15%，则两者在技术上是平局的。
色散测量
作为动力，考虑两条一体式生产线。平均单件长度测量值为 100 厘米，两条生产线生产的单件平均长度接近该值。在这种情况下，我们是否认为两条生产线生产的零件都合适？
生产线之间的分散越小，生产线就越精确（就位置而言）和越可靠。更具体地说，我们有更好的机会实现目标。
**定义（离散度的度量）：**是代表一系列数据的统计数据，指导我们了解数据分布的离散度（变化、可变性）。
最重要的分散措施是：
- 振幅;
- 方差;
- 标准差；
- 变异系数。
振幅
幅度是最基本的色散度量，并且由于计算简单而应用于大多数应用。在日常生活中，音频平台经常使用振幅作为概念。
$$\\{\text{menor valor}, \dots, \text{maior valor}\\}$$$$X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq X_{(3)} \leq \dots \leq X_{(n−1)} \leq X_{(n)}$$**定义（振幅）：**是数据集中的最大值和最小值之间的差值。
数据的幅度 R 由下式给出：
$$R = X_{(n)}−X_{(1)}$$**注意：**以下是一些重要的符号：
- 当索引位于括号中时，表示数字是有序的。
- $X_{(1)}$ 是最小值
- $X_{1}$不一定是最小值
- 从不等式的概念我们可以得到$X_{(1)} \leq X_{(2)}$：
- $X_{(1)}$ 小于或等于 $X_{(2)}$
- $X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq X_{(3)} \leq \dots \leq X_{(n−1)} \leq X_{(n)}$ 按从小到大的顺序排列。
- 幅度由符号$R$给出，它来自英国范围。
青蛙跳示例（幅度）
为青蛙跳跃的高度，测量值如下：
| 跳 | 身高（厘米） |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 3 |
| 3 | 10 |
| 4 | 3 |
| 5 | 0 |
因此，最大和最小高度如下：
- $\max \\{\text{alturas}\\} = 10\text{ cm}$
- $\min \\{\text{alturas}\\} = 0\text{ cm}$
- $\text{Amplitude} = R = \max \\{\text{alturas}\\} - \min \\{\text{alturas}\\} = 10 - 0 = 10\text{ cm}$
方差
下一个描述的离散度度量是方差。
方差有两种类型：
- 总体方差：是对所有总体信息的离散值的计算。
- 抽样方差：是对样本中所有信息的离散值的计算。
当我们通过概率分布对总体进行建模时。总体方差的值称为参数。
**定义（参数）：**涉及人口的描述性度量。
示例： 人口平均值。
**定义（估计器）：**涉及样本的描述性测量。
示例： 样本均值。
**定义（估计）：**涉及样本的描述性度量的值。
示例： 10 测量值的样本方差等于 2。因此，采样方差的估计值为2。
总体方差
总体方差比计算其他描述性度量稍微复杂一些。它是根据与平均值的偏差计算的。
$$d_{i} = \text{desvio} = (\text{medida} - \text{média}) = (X_{i} - \overline{X})$$一个重要的属性是偏差之和为零。假设我们有 5 测量值。
$$d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 = 0$$在 N 个元素的总体中，总体方差由下式给出：
在哪里：
- **N：**人口规模或人口元素数量；
- $\mu$：参数指总体平均值；
- $x_1, \dots, x_N$：人口要素。
- $d_i = (X_i - \mu)$：是测量i的偏差，对于$i=1,\dots, N$。
- $\sum^N_{i=1}$：是求和符号，在本例中求和是从$1$到$N$。
**注意：**参数通常由希腊字母给出，在差异的情况下由希腊字母$\sigma^2$给出。
样本方差
在 n 个元素的样本中，采样方差由下式给出：
在哪里：
- **n：**样本大小或样本元素数量；
- $s^2$：参考样本方差的估计量；
- $x_1, \dots, x_n$：样本元素。
- $d_i = (X_i - \overline{X})$：是测量i的偏差，对于$i=1,\dots, n$。
- $\sum^n_{i=1}$：是求和符号，在本例中求和是从$1$到$n$。
注意： 方差估计量由字母 $s^2$ 给出，因为它来自英语标准差。
青蛙跳的示例（方差）
为青蛙跳跃的高度，测量值如下：
| 跳 | 身高（厘米） |
|---|---|
| 1 | 10 |
| 2 | 11 |
| 3 | 9 |
| 4 | 8 |
| 5 | 10 |
这样，我们就有了如下的计算：
- $\text{média} =\dfrac{10+11+9+8+10}{5} = \dfrac{48}{5}=9.6 \text{ cm}$
- $\text{soma }\text{desvios}^2 = (10-9.6)^2 + (11-9.6)^2 + (9-9.6)^2 + (8-9.6)^2 + (10-9.6)^2 = 5.2$
- $\text{Variância} = s^2 = \dfrac{5.2}{5-1} = 1.3 \text{ cm}^2$
总体标准差
总体标准差由方差的平方根给出。那么，两者有什么区别呢？
这只是一个实际应用，因为如果我们以 $cm$ 为单位测量零件，则方差将在 $cm^2$ 中，标准差将在 $cm$ 中，这在实际中才是重要的。为了数学上的简化，统计学家更喜欢方差。
在 N 个元素的总体中，总体标准差由下式给出：
在哪里：
- **N：**人口规模或人口元素数量；
- $\mu$：参数指总体平均值；
- $x_1, \dots, x_N$：人口要素。
- $d_i = (X_i - \mu)$：是测量i的偏差，对于$i=1,\dots, N$。
- $\sum^N_{i=1}$：是求和符号，在本例中求和是从$1$到$N$。
**注意：**参数通常由希腊字母给出，标准差则由希腊字母$\sigma$给出。
样本标准差
在 n 个元素的样本中，样本标准差由下式给出：
在哪里：
- **n：**样本大小或样本元素数量；
- $s^2$：参考样本方差的估计量；
- $x_1, \dots, x_n$：样本元素。
- $d_i = (X_i - \overline{X})$：是测量i的偏差，对于$i=1,\dots, n$。
- $\sum^n_{i=1}$：是求和符号，在本例中求和是从$1$到$n$。
青蛙跳示例（标准差）
为青蛙跳跃的高度，测量值如下：
| 跳 | 身高（厘米） |
|---|---|
| 1 | 10 |
| 2 | 11 |
| 3 | 9 |
| 4 | 8 |
| 5 | 10 |
这样，我们就有了如下的计算：
- $\text{média} =\dfrac{10+11+9+8+10}{5} = \dfrac{48}{5}=9.6 \text{ cm}$
- $\text{Variância} = s^2 = \dfrac{5.2}{5-1} = 1.3 \text{ cm}$
- $\text{Desvio-padrão} = s = \sqrt{1.3} \approx 1.14 \text{ cm}$
因此，青蛙的跳跃是$9.6 \text{ cm} \pm 1.14\text{ cm}$
选举候选人的示例（标准差）
设 2022 年的总统选举民意调查为。
| 候选人 | 平均得票率 |
|---|---|
| A | 35 % |
| B | 38 % |
| C | 20 % |
| D | 8 % |
“误差幅度”为 $\pm 5$%。哪位候选人在竞选中领先？
考虑到“误差幅度”，我们有以下情况：
| 候选人 | 平均得票率 | 下限 | 上限 |
|---|---|---|---|
| A | 35 % | 30 % | 40 % |
| B | 38 % | 33 % | 42 % |
| C | 20 % | 15 % | 25 % |
| D | 8 % | 3 % | 13 % |
由于 A 和 B 的范围有交集。因此，我们认为它们在“技术上”或统计上并列第一。
这是关于分散措施的一个小介绍，等待下一篇文章。