Euler's Eyes
2022-10-19
实数范围
在直道上打开和关闭门
包括和排除端点。区间和不等式符号如何变化？
间隔将表示为实数的子集，或者更好地称为直线。这些子集是无限的，因为无论你采用多少个更小的间隔，它们仍然是无限的。与自然数或整数的集合不同。
局限性
**定义（区间）：**区间是直线（实数）的子集。
**定义（下限区间）：**如果我们有任何实数 $x$ 大于或等于另一个实数 $a$，则区间是下限的。
$$\forall x \in \mathbb{R}, ~x\geq a$$
**定义（上限区间）：**如果我们有任何实数 $x$ 小于或等于另一个实数 $b$，则区间是上限上限。
$$\forall x \in \mathbb{R}, ~x\leq b$$
**定义（有限区间）：**如果区间受到下限和上限，则该区间是有限的。
$$\forall x \in \mathbb{R}, ~a \leq x\leq b$$
**定义（无限区间）：**如果一个区间既没有下限也没有上限，那么它就是无限的。
$$\forall x \in \mathbb{R}$$
开放范围有限
在这里我们将讨论实数的范围。除其他问题外，它们是不平等现象的根本。下面我们给出开区间的定义。
**定义：**设$a,b$为实数，即$a,b\in \mathbb{R}$。当我们有 $(a,b) \subset \mathbb{R}$ 时，我们说范围是开放的。
当范围为开放时，表示数字$a,b$不属于该范围。
$$(a,b) = \\{x\in \mathbb{R}, a < x < b\\}$$符号： $(~)$ 括号。
开区间示例
对于 $a=1,$ $b=5,$ 确定开放范围。那么范围由下式给出：
$$(1,5)\in \mathbb{R}$$属于这些范围的一些数字的示例。
- $1\notin (1,5)$:
- $1$ 不属于范围 $(1,5)$
- $5\notin (1,5)$:
- $5$ 不属于范围 $(1,5)$
- $2\in (1,5)$:
- $2$ 属于范围 $(1,5)$
- $\dfrac{3}{2}\in (1,5)$:
- $\dfrac{3}{2}$ 属于范围 $(1,5)$
- $\pi\in (1,5)$:
- $\pi$ 属于范围 $(1,5)$
- $e \in (1,5)$:
- $e$ 属于范围 $(1,5)$
封闭范围有限
下面我们给出闭区间的定义。
**定义：**设$a,b$为实数，即$a,b\in \mathbb{R}$。当我们有 $[a,b] \subset \mathbb{R}$ 时，我们说区间是闭区间。
当范围闭合时，表示数字$a,b$不属于该范围。
$$[a,b] = \\{x\in \mathbb{R}, a \leq x \leq b\\}$$符号： $[~]$ 方括号。
闭区间示例
对于 $a=1,$ $b=5,$ 确定闭合范围。那么范围由下式给出：
$$[1,5]\in \mathbb{R}$$属于这些范围的一些数字的示例。
- $1\in [1,5]$:
- $1$ 不属于范围 $[1,5]$
- $5\in [1,5]$:
- $5$ 不属于范围 $[1,5]$
- $2\in [1,5]$:
- $2$ 属于范围 $[1,5]$
- $\pi\in [1,5]$:
- $\pi$ 属于范围 $[1,5]$
- $e \in [1,5]$:
- $e$ 属于范围 $[1,5]$
有限的半开放范围
下面我们给出半开区间的定义。
**定义：**设$a,b$为实数，即$a,b\in \mathbb{R}$。当我们有 $[a,b] \subset \mathbb{R}$ 时，我们说区间是半开区间。
当范围为半开时，表示数字$a,b$不属于该范围。
$$(a,b] = \\{x\in \mathbb{R}, a < x \leq b\\}$$$$[a,b) = \\{x\in \mathbb{R}, a \leq x < b\\}$$
符号： $[~)$ 或 $(~]$ 括号和方括号。
半开区间示例
对于 $a=1,$ $b=5,$ 确定半开区间。那么范围由下式给出：
$$(1,5]\in \mathbb{R}$$属于这些范围的一些数字的示例。
- $1\notin (1,5]$:
- $1$ 不属于范围 $(1,5]$
- $5\in (1,5]$:
- $5$ 不属于范围 $(1,5]$
- $2\in (1,5]$:
- $2$ 属于范围 $(1,5]$
- $\pi\in (1,5]$:
- $\pi$ 属于范围 $(1,5]$
- $e \in (1,5]$:
- $e$ 属于范围 $(1,5]$