Euler's Eyes
2022-09-14
负指数幂
如前所述，指数的概念始于阿基米德，他在研究体积时获得了非常非常大的数，正如另一篇介绍性力量帖子中所说。在这篇文章中，我们将讨论负指数的幂。
负指数
在这个网站上，我们讨论整数指数的幂，但是，我们不讨论负指数，因为结果是一个有理数，这是上下文的一部分。
功率的底数可以是任意数字。在这篇文章中，我们将使用有理数：
$$\mathbb{Q} = \left\\{\dots, -3, -\dfrac{5}{2},-2, -\dfrac{3}{2} ,-1, -\dfrac{1}{2},0 , \dfrac{1}{2} , 1, \dfrac{3}{2} , 2, \dfrac{5}{2} , 3, \dots\right\\}$$在这种情况下，指数是一个整数。
$$\mathbb{Z} = \\{\dots, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \dots\\}$$
10 的力量
例如，让我们输入 10 次方的数字。
| 10 的力量 | 平等的 | 10 的多重表示 |
|---|---|---|
| $10^{-1}$ | $=$ | $\dfrac{1}{10}=0.1$ |
| $10^{-2}$ | $=$ | $\dfrac{1}{100}=0.01$ |
| $10^{-3}$ | $=$ | $\dfrac{1}{1000}=0.001$ |
| $10^{-4}$ | $=$ | $\dfrac{1}{10000}=0.0001$ |
| $10^{-5}$ | $=$ | $\dfrac{1}{100000}=0.00001$ |
| $10^{-6}$ | $=$ | $\dfrac{1}{1000000}=0.000001$ |
| $10^{-7}$ | $=$ | $\dfrac{1}{10000000}=0.0000001$ |
| $10^{-8}$ | $=$ | $\dfrac{1}{100000000}=0.00000001$ |
| $10^{-9}$ | $=$ | $\dfrac{1}{1000000000}=0.000000001$ |
| $10^{10}$ | $=$ | $\dfrac{1}{10000000000}=0.0000000001$ |
| $10^{11}$ | $=$ | $\dfrac{1}{100000000000}=0.00000000001$ |
| $10^{12}$ | $=$ | $\dfrac{1}{1000000000000}=0.000000000001$ |
我们如何得到结果？
记住比例。这边走。让我们使用这个方法。
$$
\begin{aligned}
10^{-1} &= \color{red}{10^1} ~.~\dfrac{10^{-1} }{\color{red}{10^1} }\\
&= \dfrac{10^{1-1} }{10 }\\
&= \dfrac{10^{0} }{10 }\\
&= \dfrac{1 }{10 }\\
\end{aligned}
$$
2 的力量
有了10的功率概念，我们现在可以讨论基本功率2。
$$
\begin{aligned}
2^{-2} &= \color{red}{2^2} ~.~\dfrac{2^{-2} }{\color{red}{2^2} }\\
&= \dfrac{2^{2-2} }{2^2 }\\
&= \dfrac{1 }{2^2 }\\
&= \dfrac{1 }{4 }\\
\end{aligned}
$$
| 2 的力量 | 平等的 | 结果 |
|---|---|---|
| $2^{-1}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2^{1}}=0.5$ |
| $2^{-2}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2^{2}}=0.25$ |
| $2^{-3}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2^{3}}=0.125$ |
| $2^{-4}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2^{4}}=0.0625$ |
| $2^{-5}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2^{5}}=0.03125$ |
| $2^{-6}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2^{6}}=0.015625$ |
| $2^{-7}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2^{7}}=0.0078125$ |
| $2^{-8}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2^{8}}=0.00390625$ |
| $2^{-9}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2^{9}}=0.001953125$ |
| $2^{-10}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2^{10}}=0.0009765625$ |
增强特性
第一个性质是两个幂之间的乘法。
幂乘法
$$\text{base}^m ~.~ \text{base}^n = \text{base}^{m+n}$$示例： 计算 $2^4 ~.~ 2^5.$
$$2^4 ~.~ 2^5 = 2^{4+5} = 2^9$$
房产值得吗？
最初我们将基数称为 $a$
$$
\begin{aligned}
a^m ~.~a^n &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m \text{ vezes} }~.~\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } = \\
&= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m+n \text{ vezes} }\\
&= a^{m+n}
\end{aligned}
$$
现在倒数
$$
\begin{aligned}
a^{m+n} &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m+n \text{ vezes} } = \\
&= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m \text{ vezes} }~.~\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } \\
&= a^{m} ~.~ a^{n}
\end{aligned}
$$
第二个性质是两个幂之间的乘法。
权力划分
$$\dfrac{\text{base}^a }{\text{base}^b} = \text{base}^{a-b}$$示例： 计算 $\dfrac{10^5}{10^2}$
$$\dfrac{10^5}{10^2} = 10^{5-2} = 10^3$$
现在让我们展示这个属性：
$$
\begin{aligned}
\frac{a^m}{a^n} &= \dfrac{\underbrace{\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } ~.~ \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m-n \text{ vezes} } }_{\color{red}{n} + m - \color{red}{n} ~=~ m} }{\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } }\\
&= \dfrac{ \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } }{\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } }~.~ \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m-n \text{ vezes} }\\
&= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m-n \text{ vezes} }\\
&= a^{m-n}
\end{aligned}
$$
我们将把相反的过程作为练习。
值得记住的是，要使用此属性，基数必须相同。
示例： 计算 $\dfrac{10^8 ~.~ 3^2}{3 ~.~10^3}$
对于计算，该属性仅用于具有相同基数的幂。实际上，
$$\dfrac{10^8 ~.~ 3^2}{3 ~.~10^3} = 10^{8-3} ~.~ 3^{2-1} = 10^5 ~.~3 $$幂的基数反转
$$\left(\dfrac{\text{base 1} }{\text{base 2} }\right)^{-a} = \left(\dfrac{\text{base 2} }{\text{base 1} }\right)^{a}$$示例： 显示 $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$
$$
\begin{aligned}
\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} &\overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3^{-2} }{2^{-2} } ~.~ \underbrace{\color{red}{\dfrac{3^{2} }{3^{2} } } }_{=1}\\
&= \dfrac{3^{2-2} }{2^{-2}~.~ 3^{2} }\\
&\overset{\text{balança} }{=} \dfrac{1 }{2^{-2}~.~ 3^{2} }~.~ \color{red}{\dfrac{2^{2} }{2^{2} } } \\
&= \dfrac{2^2 }{\underbrace{2^{2-2} }_{\color{red}{2^0=1} }~.~ 3^{2} }\\
&= \dfrac{2^2 }{3^{2} }\\
&= \left(\dfrac{2 }{3 }\right)^2\\
\end{aligned}
$$
这些概念是基础概念，因为没有它我们就无法谈论对数。等待接下来的帖子。