Euler's Eyes
2022-09-19
无理数简介
在这组帖子中，目标是呈现非有理数，我们称之为无理数。为此，重要的是要讨论毕达哥拉斯常数 $\sqrt{2}$。直到这个常数的出现，毕达哥拉斯学派追随了苏美尔学派、柏拉图学派、亚历山大学派等的脚步。
平方根的历史定义
在介绍性文章中，我们看到了平方根的概念，它只不过是平方的边。
这个词
- 平方根
在拉丁语中它代表
- 正方形的一边
例如我们取$\sqrt{4}=2$，答案在模块中。这是随着时间的推移而丢失的信息，也就是说，我们已经成为一种无菌的符号。读者将会看到， 符号学上活跃的符号是那些为数学进步而演变的符号。
从拉丁语（Latin）角度看平方根
基数平方 4 等于 2
我们翻译为：
面积为 4 的正方形的边等于 2
如上所述，信息随着时间的推移而丢失：
基数平方 4 等于 2
rad 四边形 4 aq 2
拉夸 4 水 2
r q 4 aq 2
突然 r 吞掉了这个数字：
$$ \sqrt{4}=2$$a
毕达哥拉斯常数
历史上出现的第一个无理数是苏美尔人的 $\sqrt{2}$，他们是第一个居住在美索不达米亚的人，早于巴比伦人。它们已经为人所知并计算出其数值，称为苏美尔石板。下面我们有一个视频讲述了这个故事。
苏美尔平板电脑
苏美尔平板电脑由一个带有两条对角线的正方形和三个在系统中写在基数 60 的数字表示。苏美尔数的构造如下：
- 点和逗号 (;) 之前的数字是整数
- 以下数字以逗号 (,) 分隔
- 所有部分均除以 60
例如：
$$0;30 = \dfrac{0}{60} + \dfrac{30}{60} = 0 + \dfrac{1}{2} = 0.5$$
苏美尔常数和比率
在毕达哥拉斯之前，苏美尔人就使用了我们现在所说的毕达哥拉斯定理。
是
$$a=\\{0;30\\}_{60}$$$$b=\\{1;24,51,10\\}_{60}$$$$c=\\{0;42,25,35\\}_{60}$$苏美尔人发现 $a~.~b$ 相乘等于 $c$。
紫茉莉 缩写 毕达哥拉斯
通过正方形的对角线，毕达哥拉斯得出了几何、群论和线性代数中最重要的结果之一。
所以，我们必须
$$\sqrt{2} \approx \\{1;24,51,10\\}_{60} = 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60} + \frac{10}{60} \approx 1,414212966296$$
对角线标志 $ = c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
在任何方格中它都是有效的：
$$\dfrac{\text{diagonal} }{\text{lado} } = \dfrac{\dfrac{\sqrt{2} }{2} }{\dfrac{1}{2} }= \text{constante } = \sqrt{2}$$
A 不是有理数。
亚里士多德的毕达哥拉斯常数非有理数
伟大的希腊哲学家亚里士多德论证了$\sqrt{2}$的非理性。亚里士多德使用的技术是将整数写为偶数和奇数。
这个概念在奇数和偶数的帖子中得到了很多解释。我们记得：
配对
$$n= 2q $$奇数
$$n = 2q + 1$$对于某些 $q$ 是一个整数。
下一步是获得一些有助于证明 $\sqrt{2}$ 是无理数的结果。
**命题1：**每个奇数的平方都是奇数。
演示：
事实上，让$p = 2q + 1$为奇数。还记得比例吗？有了这个，让我们使用这个技术。我们只是将两边都平方并使用值得注意的正方形。
因此，$p^2$是奇数。
$\square$
**命题2：**每个偶数的平方都是偶数。
演示：
令 $p=2q,$ 为 $p$ 奇数。从命题1我们知道它的平方$p^2$是奇数，$p^2 = (2q)^2 = 4q^2 = 2 (2q^2) = 2t$是$t$整数，它是偶数（荒谬）。
因此，$p$是偶数。
$\square$
通过这两个结果我们可以证明$\sqrt{2}$不是有理数。
定理 1： 亚里士多德 $\sqrt{2}$ 不是有理数。
演示：
事实上，荒谬地假设 $\sqrt{2}$ 是有理数。因此，存在整数 $p$ 和 $q$，其中 $q$ 非零。我们可以将其写为：
$$c=\dfrac{p}{q} = \sqrt{2}$$当我们对两边进行平方时，我们有
$$c^2 = 2, \quad \text{}{que é par} $$从命题2我们知道$c$是for，因此我们可以假设$p$和$q$不是两对。
- $\dfrac{\text{par} }{\text{par} }= \dfrac{2a}{2b} = \dfrac{a}{b} \neq 2$
- $\dfrac{\text{par} }{\text{ímpar} }= \dfrac{2a}{2b +1 } = 2 \left(\dfrac{a}{2b + 1}\right) \overset{a=2b+1}{=} 2$
从事实来看
$$\dfrac{p^2}{q^2}=2 \qquad \Rightarrow \qquad p^2=2q^2 \qquad (\star)$$由此我们知道 $p^2$ 是偶数，这意味着 $p$ 是偶数。如果p是偶数，我们可以将其写为$p=2m.$
当代入 $\star$ 时，我们有：
因此，$q^2 = 2m^2$也是偶数，这是荒谬的。
因此，$\sqrt{2}$不是有理数。
$\square$