从探索到示范

在范围内查找 √2 有助于可视化。非理性的证明需要本课程中提出的数学论证。

探索控件并用您自己的话解释发生了什么变化。

为什么√2不能是分数？

假设要获得矛盾，√2 = a/b，其中 a 和 b 为正整数和不可约分数。 那么 a² = 2b²，所以 a² 是偶数。如果 a 是奇数，则它的平方也是奇数；因此 a 是偶数。 写a = 2k。代入，4k² = 2b²，或 b² = 2k²，这也使得 b 为偶数。

因此，a 和 b 可以被 2 整除，这与不可约分数的假设相矛盾。 因此，√2是无理数。没有使用十进制近似值作为证明。

操作：在概括之前进行调查

手术 结果 分类
√2 + (−√2) 0 合理的
√2 × √2 2 合理的
1 + √2 1 + √2 非理性
2√2 2√2 非理性

如果 r 是有理数且 x 是无理数，则 r + x 是无理数：如果总和是有理数， 减去 r 会使 x 有理数，这是一个矛盾。如果 r ≠ 0，同样的推理，使用除法， 表明 rx 是无理数。需要条件 r ≠ 0：0 × x = 0。

对数挑战

log28 是无理数吗？ log23？

检查理由

log28 = 3 是有理数。如果 log23 = p/q 是有理数，且 p 和 q 为正整数，则我们将得到 2ᵖ = 3ᑫ。这是不可能的：左边是偶数，右边是奇数。因此，log23 是无理数。

继续对数.