1843 年 10 月 16 日，爱尔兰人威廉·罗恩·哈密顿和妻子沿着都柏林的皇家运河散步时，突然解决了一个折磨他十五年的问题。他从口袋里掏出小刀，把公式刻在了布鲁姆桥的一块石头上：

$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$$

刻痕早已磨灭，但现在那里有一块纪念牌，每年 10 月 16 日，数学家们都会步行到这座桥。很少有哪个记号的诞生被记录得这样清楚。

会指方向的数

哈密顿的问题来自更早的一个发现。1797 年，挪威—丹麦的测量员卡斯帕·韦塞尔证明，复数可以读作平面上的方向。乘以 $-1$ 就是掉头（$180^\circ$）；乘以虚数单位——韦塞尔称之为 $\varepsilon$，今天我们叫它 $i$——就是转四分之一圈（$90^\circ$）。而两个方向的乘积，其角度是两个角度的和：

$$i\cdot i=-1\quad\text{因为}\quad 90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$

这和纳皮尔的对数是同一个奇迹，只是换成了角度：乘法变成了加法。哈密顿想在三维空间里做同样的事。他多年来尝试由三部分组成的数 $a+bi+cj$，却始终无法让计算自洽。那天在桥上找到的办法是接受四个部分 $q=a+bi+cj+dk$，并且接受一件看似荒谬的事：乘法的顺序是有关系的。

$$ij=k,\qquad ji=-k.$$

这和伽罗瓦的群表是同样的惊奇，只不过这次是数。哈密顿把他的造物叫作四元数（quaternion），来自拉丁文 quaternio，“四个一组”。

标量、向量、旋量

哈密顿很会起名字。在 1846 年的一篇文章中，他把四元数分成两部分，并分别命名：

代数上为实的部分，可以叫作标量部分，或简称四元数的标量。[……]代数上为虚的部分，在几何上由一条直线构成，一般来说它在空间中有确定的长度和确定的方向，可以叫作向量部分，或简称四元数的向量。

— 威廉·罗恩·哈密顿，《哲学杂志》（1846）

标量（scalar）来自 scala，梯子或带刻度的尺：一个标在刻度上的数。向量（vector）来自 vehere，运载：向量是把一个点“运到”另一个点的东西。后来，哈密顿把只旋转、不伸缩的四元数叫作旋量（versor，来自 vertere，转）。这三个词都流传了下来，即使四元数后来不再流行。

记号之战

哈密顿和他的苏格兰弟子彼得·格思里·泰特想用四元数改写整个物理学。19 世纪 60 年代正在统一电与磁的詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，饶有兴趣地看着，却心存疑虑：要描述电场，三个部分 $bi+cj+dk$ 就够了，标量部分只会碍事。在 1865 年提出这一理论的论文中，麦克斯韦把电磁学方程按分量写出：二十个方程，二十个未知量。在 1873 年的《电磁通论》中，他用了一部分四元数记号，但并没有全盘采用。

两个人在没有商量的情况下，同时解决了这个问题。在美国，物理学家约西亚·威拉德·吉布斯在 1881 至 1884 年间自费为学生印了一本小册子《向量分析初步》。在英国，自学成才的电报工程师奥利弗·亥维赛在《电工》杂志上做了同样的事。两人都丢掉了四元数的标量部分，只保留向量，并创造了两种不同的乘积，各有各的符号：

$$\begin{aligned}\vec a\cdot\vec b&\quad\text{点积：得到一个数；}\\ \vec a\times\vec b&\quad\text{叉积：得到一个向量。}\end{aligned}$$

有了这种记号，麦克斯韦的二十个方程装进了四个：

$$\begin{aligned} \nabla\cdot\vec E&=\frac{\rho}{\varepsilon_0}, & \nabla\times\vec E&=-\frac{\partial\vec B}{\partial t},\\ \nabla\cdot\vec B&=0, & \nabla\times\vec B&=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}. \end{aligned}$$

这也许是物理学中能动的记号最惊人的例子。内容还是麦克斯韦的，但现在电场与磁场之间的对称一目了然：两个方程带 $\nabla\cdot$（左边），两个带 $\nabla\times$（右边）。正是看着这种对称，二十世纪初的物理学家（包括爱因斯坦）开始提出那些通向相对论的问题。

就连威拉德·吉布斯教授，也因为他那本关于向量分析的小册子，而必须被列为阻碍四元数进步的人之一；那是一种雌雄同体的怪物，由哈密顿和格拉斯曼的记号拼凑而成。

— 彼得·格思里·泰特，《四元数初论》第三版序言（1890）

泰特输掉了这场战争。物理学家和工程师采用了吉布斯和亥维赛的向量，因为在他们面对的问题上，向量更好用。四元数被遗忘了将近一个世纪，后来又从一扇意想不到的门回来了：今天，人们用它计算卫星、机器人和电子游戏中的旋转，正是因为它保留了韦塞尔和哈密顿的规则——转了再转，就是相乘。

向量怎么写？

这场争论在向量的写法上留下了痕迹。本站早期的文章收集了其中几种：

作者 年份 写法
让-罗贝尔·阿尔冈 1806 $\overline{AB}$
奥古斯特·默比乌斯 1827 $AB$
赫尔曼·格拉斯曼 1844 $v_1e_1+v_2e_2+v_3e_3$
威廉·罗恩·哈密顿 1840 年代 $\alpha=xi+yj+zk$
约西亚·威拉德·吉布斯 1881 希腊字母，后来是粗体字母
20 世纪初，尤其在法国 箭头：$\vec a$、$\overrightarrow{AB}$

每种写法都突出了某一点。阿尔冈的横线说的是“从 $A$ 到 $B$ 的线段”。格拉斯曼的和式说的是“三个基本方向的组合”，它最容易推广到四维、五维乃至一百维。物理书里的粗体 $\mathbf v$ 很干净，却没法手写。能手写的箭头，是唯一画出对象本身的写法：向量就是一支箭。用第 2 章里皮尔斯的说法，它是一个像似符。

练习：四元数中顺序很重要

利用 $ij=k$ 和 $ji=-k$，计算 $(1+i)(1+j)$ 和 $(1+j)(1+i)$。

$$(1+i)(1+j)=1+j+i+ij=1+i+j+k,$$

$$(1+j)(1+i)=1+i+j+ji=1+i+j-k.$$

两个结果在 $k$ 的符号上不同。那么 $ijk$ 呢？结合起来，$(ij)k=k\cdot k=-1$，正是桥上的那个公式。

练习：吉布斯的两种乘积

对于 $\vec a=(1,2,0)$ 和 $\vec b=(3,-1,0)$：

  • 点积是一个数：$\vec a\cdot\vec b=1\cdot3+2\cdot(-1)+0\cdot0=1$；
  • 叉积是一个向量：$\vec a\times\vec b=(2\cdot0-0\cdot(-1),\ 0\cdot3-1\cdot0,\ 1\cdot(-1)-2\cdot3)=(0,0,-7)$。

前者衡量两个向量在多大程度上指向“同一边”；后者垂直于两者所在的平面，就像右手定则里的力。两种不同的运算，两个不同的符号：这正是吉布斯把四元数混在一起的东西分开之后所得到的。

资料来源： Michael J. Crowe，A History of Vector Analysis（1967）· Florian Cajori，A History of Mathematical Notations · William Rowan Hamilton, MacTutor · Oliver Heaviside, MacTutor。

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