在素数帖子中，我们讨论了除数集。例如，给定一个自然数 $a$，自然数的除数集由下式给出：

$$\mathcal{D}(a) $$

用于任何非零 $a$ 数。此外，我们看到 1 总是属于集合 $\mathcal{D}(a)$，$a$ 也是如此。

求自然数的除数

这样，一个数 $a$ 的除数集合是有限的。换句话说，我们有：

$$1\in \mathcal{D}(a) =\\{1,\dots, 一个\\}$$

$$a\in \mathcal{D}(a) =\\{1,\dots, 一个\\}$$

这样，任意两个自然数$a$和$b$的因数的交集都有一个最大元素，即：

$$\mathcal{D}(a)\cap \mathcal{D}(b)\quad \Rightarrow \quad \text{有一个最大元素，对于自然的a和b。}$$

说到最大，今天的致敬来自普林西比多尼斯的 Atobe Keigo。接下来，我们看一个易趣娃娃, Atobe 人物的学分是粉丝子网站.

源部启吾 我是最大的

最大公约数的定义

如果任何（非零）自然数的除数之间的相遇（交集）具有最大值。然后我们可以定义：

定义：

给定任何非零（非零）自然数 $a$ 和 $b$。$a$ 和 $b$

$$\mathcal{D}(a)\cap \mathcal{D}(b)$$

的因数的交集（“相遇”）有一个最大元素，我们调用 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。

$$mdc(a, b) = \max\\{\mathcal{D}(a)\cap \mathcal{D}(b)\\}$$

最大公约数示例

给定自然数 12 和 18，12 和 18 的最大公约数是多少？

$$mdc(12,18) = ?$$
自然数 $(n)$ $\mathcal{D}(n)$ 分隔线
12 $\mathcal{D}(12)$ $\\{ 1,2, 3, 4, 6, 12\\} $
18 $\mathcal{D}(18)$ $\\{ 1.2, 3, 6, 9, 18\\} $

下一步是检查 $12$ 和 $18$ 的除数之间的交集。由此，我们得到：

$\mathcal{D}(12) \cap \mathcal{D}(18)$ $mdc(12,18)$
$\\{ 1,2, 3, 6\\} $ $ \max\\{ 1,2, 3, 6\\} = 6 $

因此，$12$ 和 $18$ 的最大公约数是 $6$。

$$gc(12, 18) = 6$$

最大公约数性质

以下是最大公约数属性：

  1. 对于任意两个非零自然数 $a$ 和 $b$，它是： $$gcd(a,b) = gcd(b,a)$$

例如，对于 $a = 12$ 和 $b = 18$

$$gcd(12,18) = gdc(18,12)=6$$
$mdc(12,18)$ $mdc(18,12)$
  1. 对于一个非零自然数$a$ $(a\neq 0)$ $b$的除数，则$mdc(a,b)=a$

例如，对于 $a = 6$ 和 $b = 18,$，我们注意到 6 是 18 的因数。因此：

$$mdc(6,18) = 6$$

对于任意两个非零自然数 $a$ 和 $b$，如果

  1. $$gcd(a,b) = 1$$

所以 $a$ 和 $b$ 是素数。

例如，对于 $a = 2$ 和 $b = 3$，我们有：

$$mdc(2,3) = 1$$

所以 2 和 3 是素数。

最大公约数的几何例子

为了显示最大公约数方法，我们使用欧几里得方法。

令 $a$ 和 $b$ 为非零自然数。假设 $a=77$ 和 $b=21$。该方法基于用正方形覆盖矩形区域，其中边是自然数。

这样，我们只需计算 $mdc(77,21) = 7$通过几何方法获得的 77 和 21 之间的最大公约数由下式给出：

IMPA 和 MDC

Impa 门户：最大公约数

Impa Portal：最大公约数的性质

这是最大公约数 (gdc) 的简短摘要。

在下一篇文章中，我们将介绍最小公倍数。