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ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツの生涯

年表 16467 月 1 日、神聖ローマ帝国のライプツィヒに生まれる。 166114 歳でライプツィヒ大学に入学。 1666『結合法論』を出版。ライプツィヒ大学は法学博士号を拒否し、翌年アルトドルフ大学が授与する。 1672外交使節としてパリへ。クリスティアーン・ホイヘンスのもとで本格的に数学を学び始める。 1673ロンドンで計算機を披露し、王立協会の会員に選ばれる。 167510 月と 11 月の手稿で記号 $\int$ と $d$ を生み出す。 1676ハノーファーに移り、以後 40 年間、図書館長兼顧問として働く。 1684『学術紀要』に微分学についての最初の論文を発表。 1700ベルリン科学アカデミーを創設し、初代院長となる。 1703二進法の算術についての解説を発表。 171611 月 14 日、ハノーファーで死去。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1646–1666 ライプツィヒライプツィヒに生まれ、学ぶ。大学は若すぎるとして法学の博士号を認めない。 1666–1667 アルトドルフニュルンベルク近郊で数か月のうちに博士号を得るが、教授職の申し出は断る。 1668–1672 マインツマインツ選帝侯大司教に、法律家・顧問として仕える。 1672–1676 パリ外交使節として到着し、ホイヘンスに数学を学ぶ。1675 年、記号 $\int$ と $d$ を生み出す。 1673 ロンドン王立協会で計算機を披露し、会員に選ばれる。 1676 ハーグハノーファーへ向かう途中、哲学者スピノザを訪ねる。 1676–1716 ハノーファー四十年にわたり公爵家の司書・顧問をつとめる。微積分（1684）と 2 進法（1703）を発表し、1716 年に亡くなる。 1687–1690 ローマ公爵家の歴史を書くため、三年かけてドイツ、オーストリア、イタリアの文書館をめぐる。 1700 ベルリンベルリン科学アカデミーを創設し、初代会長となる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 外交官、司書、そして数学者ライプニッツの旅。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 11, 2026 読んだ
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ライプニッツの記号：変化を表す言語

記号には発見のための利点がある。それが最大になるのは、記号が物事の本性を簡潔に表し、いわば描き出すときである。そのとき、思考の労力は驚くほど軽くなる。 — ライプニッツ、チルンハウスへの手紙（1678） 微積分に先に到達したのはニュートンでしたが、それをどう書くかを決めたのはライプニッツでした。そして書き方がすべてを変えたのです。 文字 d 1675 年 11 月 11 日、パリで書いた手稿の中で、ライプニッツは無限に小さな差を表すのに文字 $d$ を使い始めました。$d$ はラテン語の differentia に由来し、これは「引き離す」という意味の動詞 differre から来ています。つまり、 $dx$ は、非常に近い二つの $x$ の値の間の微小な差、 $dy$ は、それに対応する $y$ の差、 $\dfrac{dy}{dx}$ はその比、つまり $x$ がほんの少し変わるごとに $y$ がどれだけ変わるか、 です。「微分学」（differential calculus）という名前はここから来ています。差の計算、という意味です。 dx を使った計算 ライプニッツは $dx$ と $dy$ を、無限に小さいだけで本物の量として扱いました。$y=x^2$ で $x$ が $x+dx$ に変わるとすると、 $$dy=(x+dx)^2-x^2=2x\,dx+(dx)^2.$$$(dx)^2$ は $dx$ より無限に小さいので、彼はそれを無視し、$dy=2x\,dx$、つまり $$\frac{dy}{dx}=2x$$を得ました。これはニュートンが流率で行った計算と同じで、書き方が違うだけです。今日では「$(dx)^2$ を無視する」ことを極限で正当化します。有限の差の比は $2x+h$ で、$h\to0$ のとき $2x$ に近づきます。 1684 年の論文 1684 年 10 月に『学術紀要』でライプニッツが発表した『極大と極小についての新しい方法』の最初のページ。微分法がはじめて印刷された。ライプニッツ · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1684 年 10 月、ライプニッツはライプツィヒの学術誌『学術紀要』に自分の規則を発表しました。題名はとても長く、『分数量や無理量にも妨げられない、極大・極小および接線のための新しい方法、ならびにそのための特異な計算法』というものでした。誤植だらけの 6 ページの濃密な論文で、ほとんど誰も理解できませんでした。理解したのはヤコブとヨハンのベルヌーイ兄弟で、彼らこそが微積分をヨーロッパ中に広めたのです。

October 11, 2026 読んだ
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積の法則：一つの計算に二つの変化

$u$ がどう変わり、$v$ がどう変わるかわかっているとき、積 $uv$ はどう変わるでしょうか。自然な予想は変化同士を掛けること、$d(uv)=du\cdot dv$ です。なんとも対称的で、エレガントに見えます…… ライプニッツも同じ予想をしました。 ライプニッツの検証と失敗 文字 $d$ を使い始めた 1675 年 11 月 11 日の同じ手稿で、ライプニッツは自問しました。$d(xy)$ は $dx\,dy$ と等しいのか、$d\!\left(\frac xy\right)$ は $\dfrac{dx}{dy}$ と等しいのか。彼はエレガントさを信じるかわりに、例を使って確かめ、成り立たないことを見つけました。数日後、彼は正しい法則を見つけました。 これは大切な教訓です。微積分の発明者でさえまちがえ、彼らを救ったのは検算でした。 自分でも試してみましょう。$u=x$、$v=x$ とすると積は $x^2$ で、その導関数は $2x$。ところが導関数同士の積は $1\cdot1=1$。合いません。 大きくなる長方形 $u$ と $v$ を長方形の 2 辺、$uv$ をその面積と考えましょう。2 辺をほんの少しずつ増やします。$u$ は $u+du$ に、$v$ は $v+dv$ になります。 新しい面積は $(u+du)(v+dv)$ です。どれだけ増えたでしょうか。 $$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$幾何学的には、長方形は三つの部分を得ました。面積 $v\,du$ の細長い帯、面積 $u\,dv$ のもう一本の細長い帯、そして角にある面積 $du\,dv$ の小さな正方形です。 小さな正方形は二つの無限小の量の積なので、帯に比べて無限に小さい。ライプニッツはそれを無視して、 $$d(uv)=u\,dv+v\,du$$を得ました。予想の $du\,dv$ は、まさにどうでもいい部分だったのです。 極限を使った書き方 今日では $p(x)=f(x)\,g(x)$ と書き、増加分を増分 $h\ne0$ で割ります。 $$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$$h\to0$ のとき、最初の 2 項はそれぞれ $gf'$ と $fg'$ に近づきます。最後の項はゼロに近づきます。$\dfrac{\Delta f}{h}$ は決まった数 $f'$ に近づき、$\Delta g$ はゼロに近づくからです。したがって

October 11, 2026 読んだ
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積分記号 ∫：和から累積へ

1675 年 10 月 29 日、ライプニッツはパリで面積の問題に取り組んでいました。それまで彼は、イタリアのカヴァリエリにならって、図形のすべての線の和を表すのに omn.（ラテン語 omnia「すべて」の略）と書いていました。ページの途中で、彼はこう書きました。 omn. のかわりに ∫ と書くと便利だろう。 — ライプニッツ、1675 年 10 月 29 日の手稿 記号 $\int$ は、summa（和）の頭文字である長い S です。当時、長い s は手書きではふつうの文字でした。それ以来、この記号が取って代わられたことは一度もありません。 薄切りを足し合わせる ライプニッツの考えは、領域をごく細い縦の薄切りに分けることでした。一枚一枚はほとんど高さ $y$、幅 $dx$ の長方形で、面積は $y\,dx$。全体の面積はすべての薄切りの和です。 $$\int y\,dx.$$この記号は一度にすべてを語ります。高さ（$y$）に微小な幅（$dx$）を掛けたものを全部足せ（$\int$）。和の範囲は下と上に書きます。$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ は $x=a$ から $x=b$ までの薄切りの和です。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 「積分」と名づけたのは誰？ ライプニッツは自分の発明を calculus summatorius、つまり和の計算と呼んでいました。積分（integral）という言葉は 1690 年のヤコブ・ベルヌーイの論文に現れました。ライプニッツとヨハン・ベルヌーイはどちらの名前を使うか話し合い、最終的に「積分」に落ち着きましたが、記号はライプニッツの S のままでした。 差を足し合わせると全体に戻る 伝記で紹介した、ホイヘンスがライプニッツに出した問題を覚えていますか？ そこでは差の和がほとんど打ち消し合いました。 $$(F_1-F_0)+(F_2-F_1)+(F_3-F_2)+\cdots+(F_n-F_{n-1})=F_n-F_0.$$ある量の小さな変化をすべて足し合わせると、残るのは全体の変化、つまり最後の値から最初の値を引いたものだけです。ライプニッツは、無限に小さな差でも同じことが起こると気づきました。$dF=f(x)\,dx$ なら、 $$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b dF=F(b)-F(a).$$言いかえれば、$\int$ と $d$ は互いを打ち消し合うのです。足し算と引き算のように。これが微積分の基本定理を、もっとも短く書いたものです。ニュートンは流率の道を通って同じ結論に達しました。

October 11, 2026 読んだ
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二進法の算術：0 と 1 で数を表す

私たちはなぜ 10 ずつ数えるのでしょう？ おそらく指が 10 本あるからです。10 という数に特別なところはなく、どんな数でもどんな基数でも書けます。ライプニッツはこの考えを極限まで推し進めて問いました。すべての数を書くには、最低いくつの数字が必要か？ 答えは二つ、0 と 1 です。 位ごとに 2 倍 二進法で書かれた 0 から 32 までの数。ライプニッツが 1703 年にパリ科学アカデミーの紀要に発表した論文『二進法算術の解説』の表。ライプニッツ（1703） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 十進法では、位の値は 1、10、100、1000……で、各数字はその値を何回使うかを表します。二進法では、位の値は 1、2、4、8、16、32……で、各数字ははい（1）かいいえ（0）しか表せません。 $$10110_2=1\cdot16+0\cdot8+1\cdot4+1\cdot2+0\cdot1=22.$$添え字 $_2$ は、その数が二進法で書かれていることを示します。8 桁、つまり 8 ビットでは、位の値は 1 から 128 まで。書ける最大の数は $$11111111_2=128+64+32+16+8+4+2+1=255.$$ゼロも含めると $2^8=256$ 通りの数になります。コンピュータで 0 から 255 までのものが多いのはそのためです。 8 つのビットをオン・オフしてください 128 64 32 16 8 4 2 1 位の重みをオンにして、二進数の表記と十進数の和を追ってください。左に 0 を補っても値は変わらず、8 ビットの長さが保たれます。 コントロールを使うには JavaScript を有効にしてください。例と計算は本文にもあります。

October 11, 2026 読んだ
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ライプニッツの機械：計算を動きに変える

1642 年、若きブレーズ・パスカルは、徴税官だった父を助けるために機械を作りました。この「パスカリーヌ」は歯車を回して足し算と引き算をしました。しかし掛け算をするには、足し算を手で何度もくり返さなければなりませんでした。 ライプニッツはパリでパスカリーヌを見て、さらに先へ進みたいと考えました。ひとりでに掛け算と割り算をする機械です。 掛け算は足し算と桁送り こつは学校で習う筆算と同じです。$23\times14$ を計算するには、14 を $4+10$ に分けます。 $$23\times14=23\times4+23\times10=92+230=322.$$4 を掛けるとは 23 を 4 回足すこと。10 を掛けるとは、数を 1 桁左にずらすだけです。だから、足し算が得意で桁送りもできる機械なら、どんな掛け算でもできるのです。 23 × 14 を 23 × 4 と 23 × 10 に分解する。図は計算を説明するもので、歴史上の機械の複製ではない。ブログのオリジナル図版。 段付き円筒 段つき円筒をそなえたライプニッツの計算機。ドレスデンの技術コレクションに展示されているもの。当時つくられたのは 2 台だけで、現存する唯一の 1 台はハノーファーのゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ図書館にある。Kolossos · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 問題は、操作する人がもう一度入力しなくても、同じ数を何回も足せるようにすることでした。ライプニッツの解決策は段付き円筒（ドイツ語で Staffelwalze）でした。長さの違う 9 本の歯をもつ円筒で、階段が巻きついたような形をしています。 小さな歯車が円筒の横をすべります。歯車が「3」の高さにあれば、円筒が 1 回転するごとに 3 本の歯だけがかみ合い、歯車は 3 目盛り回ります。「7」の高さなら 7 目盛り回ります。つまり歯車の位置を合わせることで、機械に数字を記憶させるのです。クランクを 1 回まわすごとに、その数字がもう一度足されます。

October 11, 2026 読んだ
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ライプニッツの π の級数：単純でゆっくりな和

数 $\pi$ は円の幾何学から、奇数は算術から来ています。両者が出会う理由は見当たりません。ところが出会うのです。 $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots$$奇数の逆数を、符号を交互に変えながら足したり引いたりし、結果に 4 を掛けると $\pi$ になります。 一つの発見、3 回 ライプニッツがこの公式を見つけたのは 1673 年、パリでまだホイヘンスに数学を習っていたころでした。結果を先生に見せると、ホイヘンスは感心して彼をほめました。これはライプニッツの最初の大発見で、自分は数学者になれると確信させたものでした。 彼が最初ではありませんでした。1671 年、スコットランドのジェームズ・グレゴリーはすでに逆正接の級数を見つけていて、この公式はその特別な場合です。さらに約 250 年前、ケーララ学派の創始者であるインドの数学者サンガマグラーマのマーダヴァが同じ級数を発見していました。ヨーロッパの人々はこれらの業績を知りませんでした。そのため今日ではマーダヴァ–ライプニッツ級数、あるいはグレゴリー–ライプニッツ級数と呼ばれています。 「神は奇数を喜ぶ」 この級数についてライプニッツは、ローマの詩人ウェルギリウスの一節を引用しました。Numero Deus impare gaudet、「神は奇数を喜ぶ」。完全な円と深く結びついた数が、ほかならぬ奇数から生まれることを、彼は美しいと感じたのです。 証明 今日の道具を使って、3 つのステップで公式を証明しましょう。 1. 等比数列の和。 公比 $-q$ の等比数列 $1-q+q^2-q^3+\cdots$ の和には、よく知られた公式があります。$q=t^2$ として $N$ 項で打ち切り、余りの項を加えれば等式は正確になります。 $$\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-\cdots+(-1)^{N-1}t^{2N-2}+\frac{(-1)^Nt^{2N}}{1+t^2}.$$2. 両辺を 0 から 1 まで積分する。 左辺では、$\dfrac{1}{1+t^2}$ の 0 から 1 までの面積は $\arctan1=\dfrac\pi4$ です。$45°$ の正接は 1 だからです。右辺では、各べき $t^{2k}$ が $\dfrac{1}{2k+1}$ を与えます。 $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\cdots+\frac{(-1)^{N-1}}{2N-1}+R_N.$$3. 余りはゼロに近づく。 $1+t^2\ge1$ なので、余りには上限があります。 $$|R_N|\le\int_0^1t^{2N}\,dt=\frac{1}{2N+1}.$$$N$ が大きくなると $\dfrac{1}{2N+1}$ はゼロに近づき、和は $\dfrac\pi4$ にいくらでも近づきます。 美しいが、遅い 4 を掛けると、和は誤差 $\dfrac{4}{2N+1}$ 以内で $\pi$ に近づきます。これは遅いのです。

October 11, 2026 読んだ
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カルクレムス：推論を計算するという考え

私たちの推論を正す唯一の方法は、それを数学者の推論のように手でつかめるものにして、誤りが一目でわかるようにすることである。そして人々の間で論争が起きたときには、ただこう言えばよい。計算しよう！ と。そうすれば、それ以上の手間なしに、どちらが正しいかがわかる。 — ライプニッツ『発見の技法』（1685） ライプニッツは法律家であり、外交官であり、哲学者でした。宗教の間、国の間、哲学の学派の間で、決して終わらない議論を一生見てきました。一方、数学者は $2+2$ が 4 かどうかで議論しません。計算するだけです。もし推論も、数のように計算できたら？ 思考のアルファベット 計画は二つの部分からなっていました。 一つ目は普遍言語で、ライプニッツはそれを characteristica universalis（普遍記号法）と呼びました。そこでは単純な観念がそれぞれ記号をもち、複雑な観念は、単語が文字の組み合わせであるように、それらの記号の組み合わせになります。ライプニッツはこれを 20 歳のとき、1666 年の『結合法論』で考え始めていました。 二つ目は推論計算、calculus ratiocinator です。記号を操作して、足し算をするように機械的に正しい結論を導くための規則です。そんな世界では、議論は紙と鉛筆で決着がつくでしょう。 素数としての概念 ライプニッツは実際に、数を使った方式を試しました。考え方はこうです。単純な概念それぞれに素数を割り当て、複合的な概念には、その部分の素数の積を割り当てる。 たとえば古典的な定義では「人間は理性的な動物である」。動物 $=2$、理性的 $=3$ とすれば、人間 $=2\times3=6$ です。 すると「すべての人間は動物である」という文は算術の問題になります。2 は 6 を割り切るか？ 割り切るので、この文は真。では「すべての動物は人間である」は？ 6 は 2 を割り切るか？ 割り切らないので偽。概念についての推論が、割り算の問題になったのです。 この方式には深刻な問題がありました。否定や「ある〜は」という文をうまく扱えなかったのです。ライプニッツはそれを知っていて、別の形も試し続けました。しかし中心となる考え、論理は代数になりうるという考えは、すでに打ち出されていました。 今日の記号での例 今日、私たちは論理記号で推論を書きます。ある図形についての三つの命題を考えましょう。 $P$：その図形は正方形である。 $Q$：その図形は長方形である。 $R$：その図形の対角線は同じ長さである。 $P\Rightarrow Q$（すべての正方形は長方形）かつ $Q\Rightarrow R$（すべての長方形の対角線は等しい）なら、$P\Rightarrow R$。結論は議論の形から出てくるので、正方形について考える必要はありません。これこそライプニッツが望んだことです。記号だけを見て推論を確かめること。 しかし記号は奇跡を起こしません。前提がまちがっていれば、計算がどれほど正しくても結論はまちがいうるのです。また、含意を逆にするのはよくある誤りです。「すべての正方形は長方形である」から、すべての長方形が正方形であることは出てきません。 組み合わせることと解釈すること 三つの命題がそれぞれ真か偽なら、組み合わせは $2^3=8$ 通り。000、001、010、011、100、101、110、111。これは 0 から 7 までの二進法表記です。ライプニッツが感じとっていた論理と 0・1 の数との結びつきは、2 世紀後に中心的なものになります。 一部が実現した夢 ライプニッツの論理学の著作は、19 世紀までほとんどすべて未発表のままでした。それでも、この考えは戻ってきました。 1854 年、ジョージ・ブールは『思考の法則』を出版し、論理を 0 と 1 の代数に変えた。 1879 年、ゴットロープ・フレーゲは論理のための完全な記号言語を作った。それはライプニッツが思い描いたものにとても近かった。 1936 年、アラン・チューリングは、規則で記述されたどんな計算でも実行できる抽象的な機械を描いた。 しかし 1931 年、クルト・ゲーデルは、どんな規則の体系も数学のすべての真理を決定することはできないことを証明しました。ライプニッツの夢の全体は不可能なのです。それでも、その可能な部分はすべてのコンピュータの中にあります。規則に従って記号を操作する機械です。

October 11, 2026 読んだ
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ライプニッツの遺産

微積分戦争 ライプニッツは 1684 年と 1686 年に微積分を発表しました。ニュートンは 1665–1666 年に同じ考えに達していましたが、すべてを手稿にしまい込んでいました。15 年間、誰も何も争いませんでした。 1699 年、ニュートンの友人でスイスの数学者ニコラ・ファシオ・ド・デュイリエが、ライプニッツはニュートンを参考にしたと著書でほのめかしました。1708 年、スコットランドのジョン・キールはさらに進んで、ライプニッツを剽窃で告発しました。根拠は、1676 年にロンドンを訪れたライプニッツが、ニュートンの『解析について』の写しを見たというものでした。 王立協会の会員だったライプニッツは、協会に公正な調査を求めました。1712 年、委員会はニュートンが最初の発明者であると結論しました。ライプニッツは自分の言い分を述べる機会を一度も与えられず、しかも報告書は、協会の会長であるニュートン本人がひそかに書いたものでした。 ライプニッツは匿名のパンフレットで応じ、争いを数学の挑戦問題で決着させようとしました。1716 年、問題が未解決のまま彼は亡くなりました。ニュートンはその死を聞いて、自分は「ライプニッツの心を打ち砕いた」と言ったと伝えられています。 今日の歴史家の結論ははっきりしています。二人はそれぞれ独立に微積分を発明しました。ライプニッツの手稿は、ニュートンとは異なる道を通って彼がどのように考えに達したかを一歩ずつ示しています。ニュートンが先に到達し、ライプニッツが先に発表し、しかもよりよい記号を使ったのです。 同じ物語をニュートンの側から語ったものは、ニュートンの遺産で読めます。 勝ち残った記号 この争いには思いがけない勝者がいました。記号です。ベルヌーイ家、オイラー、ラグランジュといった大陸の数学者たちはライプニッツの $dx$ と $\int$ を使い、18 世紀に微積分を大きく発展させました。イギリスではニュートンへの忠誠から点の記号が使われ続け、イギリスの数学は遅れました。1812 年、ケンブリッジの学生たちはまさにライプニッツの記号を採用するために解析協会を作り、それを冗談めかして、大学の「点の時代（もうろく時代）」に対抗する「純粋 d 主義」の推進だと言いました。 ライプニッツが数学に残したもの： 記号 $dx$、$\dfrac{dy}{dx}$、$\int$ 数学的な意味での関数と座標という言葉 掛け算の点「$\cdot$」と割り算のコロン「:」 相似の記号 $\sim$ と合同の記号 $\cong$（今日のものに近い形で） 数学を超えて ライプニッツは歴史上偉大な哲学者の一人でもあり、『モナドロジー』と『弁神論』を著しました。物理学では、動く物体の「力」をどう測るかをめぐってデカルトの支持者たちと論争し、彼の「活力」（$mv^2$）は運動エネルギーという考えの祖先です。計算の分野では、二進法と推論を計算するという夢が、20 世紀になってようやく実現する考えを先取りしていました。 サイバネティクスの創始者ノーバート・ウィーナーは、ライプニッツをこの分野の「守護聖人」と呼びました。ドイツでもっとも重要な学術研究賞は、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ賞と呼ばれています。 まとめ ライプニッツは 1646 年から 1716 年まで生き、数学者であると同時に法学者、外交官、図書館長、哲学者だった。 大人になってからパリでホイヘンスに本格的に数学を学んだ。 1675 年に記号 $d$ と $\int$ を作り、1684 年と 1686 年に微積分を発表した。 連鎖律 $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$ は、記号のおかげで約分のように見える。 積の導関数は $u\,dv+v\,du$ であって、$du\,dv$ ではない。 $\int$ と $d$ は逆の操作である。差を足し合わせると全体が戻ってくる。 二進法の算術を体系化し、1703 年に発表した。 段付き円筒を使って掛け算のできる機械を作った。 $\dfrac\pi4=1-\dfrac13+\dfrac15-\cdots$ を見つけたが、マーダヴァとグレゴリーがすでに知っていた。 ニュートンとライプニッツはそれぞれ独立に微積分を発明した。 資料： 生涯と業績、MacTutor · ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ図書館のライプニッツ文書。

October 11, 2026 読んだ
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画像クレジット

歴史的な肖像 クリストフ・ベルンハルト・フランケが 1695 年ごろに描いたライプニッツの肖像は、ウィキメディア・コモンズから取得したもので、パブリックドメインです。コモンズが提供する 960 ピクセルのサムネイルを編集せずに使用しています。 出典ページ。 パブリックドメイン・マーク。 ブログの図 表紙と掛け算 $23\times14$ の説明図はオリジナルの図版です。説明図は計算を説明するもので、歴史上の機械の機構を再現したものではありません。 8 ビット、積の法則の各項、π の級数の和のインタラクティブな図は、このシリーズのために作成しました。本文の例を使えば、JavaScript がなくても計算を追うことができます。 記録 ファイル data/leibniz_imagens.json に、肖像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史資料は、それぞれの記事の末尾に記載しています。 追加した歴史図版 これらの図版はウィキメディア・コモンズによる。それぞれの出典、ライセンス、SHA-256 ハッシュ値は data/leibniz_imagens.json に記録してある。 ライプニッツの論文の二進法の表（1703）: ライプニッツ（1703） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ブーヴェが送った『易経』の卦の図（1701）: ジョアシャン・ブーヴェとライプニッツ · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ドレスデンのライプニッツの計算機: Kolossos · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 『新しい方法』の最初のページ（1684）: ライプニッツ · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ライプニッツの全トピック · ← ライプニッツの遺産

October 11, 2026 読んだ
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ライプニッツ対ドット：生きた記法と不毛な記法

1675 年 10 月 29 日、パリで、ライプニッツは曲線の下の無限に多くの細い帯をたし合わせていて、和のたびに omnia（「すべて」）と書くのにうんざりしました。彼はノートにこう書きとめます。 Utile erit scribi ∫ pro omnia.（「すべて」のかわりに ∫ と書くと便利だろう。） — ライプニッツ、1675 年 10 月 29 日の手稿 $\int$ は、summa（和）の S を引きのばしたものです。二週間後、同じノートに、無限に小さな差を表す differentia（差）の $d$ が現れます。この二つの記号で、ライプニッツは微積分全体のための言語を手にしたのです。アイザック・ニュートンはその十年前にケンブリッジで同じ考えに達していましたが、書き方がちがいました。記号の形が、それで何ができるかをどう変えるのかを見るには、歴史上これ以上の例はありません。 アイザック・ニュートン（1643–1727）：流率とドット。ゴドフリー・ネラー · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ（1646–1716）：微分と ∫。クリストフ・ベルンハルト・フランケ · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 同じ考えの二つの書き方 ニュートンは、動く物体の位置のように、時間とともに流れる量を考えていました。その量を流量、その変化の速さを流率と呼び、流率を文字の上の点で表すようになりました。流量が $x$ なら流率は $\dot{x}$、流率の流率は $\ddot{x}$ です。 ライプニッツは、となりあう値どうしのごく小さな差を考えていました。$x$ の差は $dx$、$y$ の差は $dy$ で、変化率はその比 $\dfrac{dy}{dx}$ です。並べてみましょう。 言いたいこと ニュートン ライプニッツ $y$ の変化率 $\dot y$ $\dfrac{dy}{dx}$ 何についての？ 時間（暗黙） $x$（明記） 二階導関数 $\ddot y$ $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 帯の和 定まった記号なし $\displaystyle\int y\,dx$ 連鎖律 規則を覚える $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$ ニュートンのドットのほうが短いのはたしかです。けれども、それが何を隠しているかに注意してください。何について微分しているのか、という変数です。ニュートンにとってそれはいつも時間で、彼の物理学ではそれで正しかったのです。ある量が時間以外のものに、あるいは同時にいくつものものに依存するとき、ドットにはそれを言う場所がありません。

October 13, 2026 読んだ