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ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの生涯

年表 17361 月 25 日、サルデーニャ王国の首都トリノで、ジュゼッペ・ロドヴィーコ・ラグランジャという名で生まれる。 175317 歳のとき、エドモンド・ハレーの論文を読み、数学に身をささげることを決める。 1755変分法のもとになる方法をオイラーに書き送る。9 月、19 歳でトリノの砲兵学校の教授に任命される。 1757のちにトリノ科学アカデミーとなる科学協会の創設に加わる。 1764月がいつも同じ面を見せる理由を説明して、パリ科学アカデミーの賞を受ける。 1766ベルリンに移り、フリードリヒ大王のアカデミーでオイラーの後任となる。 1770すべての正の整数が四つの平方数の和であることを証明し、方程式の根の置換の研究を始める。 1772三体問題でオイラーとパリの賞を分け合う。この研究にラグランジュ点が現れる。 1787フリードリヒの死後パリに移り、ルーヴル宮に住む。 1788『解析力学』を出版する。 1790メートル法をつくる委員会に加わる。 1794ラヴォアジエがギロチンにかけられる。ラグランジュは新設のエコール・ポリテクニークの教授になる。 1797記号 $f'(x)$ を使った『解析関数論』を出版する。 1808ナポレオンにより帝国伯爵に叙せられる。 18134 月 10 日パリで亡くなり、パンテオンに葬られる。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1736–1766 トリノ19 歳で砲兵学校の教授となる。のちに変分法となる方法をオイラーに書き送る。 1766–1787 ベルリンフリードリヒ大王のアカデミーでオイラーの後任となる。四平方定理を証明し、ラグランジュ点を見つける。 1787–1813 パリルーヴルに住み、『解析力学』を出版し、メートル法の制定に加わり、理工科学校で教える。パンテオンに葬られる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 トリノ、ベルリン、パリ。三つの都のラグランジュ。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1736–1766 · トリノ1766–1787 · ベルリン1787–1813 · パリ トリノ、ベルリン、パリ。三つの都のラグランジュ。 すべてを失った父 ラグランジュは 1736 年にトリノで生まれました。家系は曾祖父の側がフランス系で、曾祖父はサヴォイア公に仕えていました。子どもはジュゼッペ・ロドヴィーコ・ラグランジャと洗礼名をつけられ、生涯にさまざまな署名を使ったのち、フランス語の形、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュに落ちつきました。十一人きょうだいの長男で、おとなになれたのは二人だけでした。 父は王国の公共事業・要塞局の会計官という名誉ある職にあり、一家は裕福でした。ところが父は金融投機でほとんどすべてを失ってしまいます。年をとってから、ラグランジュはこのことを上機嫌で語りました。 もし私が金持ちだったら、たぶん数学に身をささげはしなかっただろう。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、伝記作者ドランブルによる ハレーと転向 父は彼を弁護士にしたいと考えており、若いラグランジュもラテン語や古典を楽しんで学んでいました。ギリシアの幾何学は退屈でした。転機は 17 歳ごろ、イギリスの天文学者エドモンド・ハレーが 1693 年に書いた、光学における代数的方法の利点についての論文をたまたま読んだときに訪れます。図を使わず計算で問題を解くという考えに魅了されたラグランジュは、独学で数学を学ぶことを決めました。この好みは生涯変わりませんでした。

October 14, 2026 読んだ
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変分法：十九歳の青年の手紙

ニュートンとライプニッツの微積分は、曲線のいちばん高い点を見つけることができます。導関数がゼロになるところです。けれども、別の種類の問いもあります。二点を結ぶいちばん短い道は何か。玉がいちばん速くすべり下りるのは、どんな形のすべり台か。ぶら下がった鎖はどんな曲線になるか。こうした問いでは、答えは数ではなく、無数にありうる曲線のなかから選ばれる、曲線まるごとです。 最速降下線 1696 年、ヨハン・ベルヌーイはヨーロッパの数学者たちに挑戦状を出しました。二点 $A$ と $B$ があり、$B$ は $A$ より低いけれども真下ではない。玉が摩擦なしに自分の重さだけですべるとき、$A$ から $B$ へいちばん短い時間で行けるのはどの曲線か。この問題の名前はギリシア語の brachistos（もっとも短い）と chronos（時間）からきています。 直線はいちばん短い道ですが、いちばん速い道ではありません。道が長くなっても、はじめに急に下って早くスピードを得たほうが得なのです。挑戦に答えたのは、ヨハン、その兄ヤコブ、ライプニッツ、ロピタル、そしてだれもがニュートンだと見抜いた匿名の筆者でした。答えはサイクロイド、転がる車輪の一点が描く曲線です。 どの解き方も、それぞれちがう巧妙なわざでした。たとえばヨハンは、玉を、だんだん密度の小さくなるガラスの層を通りぬける光線と考え、屈折の法則を使いました。足りないのは一般的な方法でした。 オイラーの方法 オイラーは何年もその方法を探し、1744 年に『極大または極小の性質をもつ曲線を見いだす方法』という本で発表しました。考え方は幾何学的でした。曲線を辺の多い多角形に置きかえ、頂点を一つだけ動かして、最適にしたい量への影響を見るのです。うまくいきましたが、計算は長く、問題ごとに専用の図が必要でした。 1755 年の手紙 1755 年 8 月 12 日、オイラーのもとに、トリノの無名の 19 歳から手紙が届きました。ラグランジュは別のやり方を提案していました。頂点を一つ動かすかわりに、曲線全体を一度に変化させるのです。$y(x)$ が求める曲線なら、彼はとなりの曲線 $$y(x)+\delta y(x)$$を考えました。ここで $\delta y$ は小さなずれで、端点 $A$ と $B$ は固定されているので両端ではゼロです。ギリシア文字の d である $\delta$ が新しい記号でした。ライプニッツの $d$ が変数の変化を表すように、$\delta$ は関数の変化を表します。 こうした問いの多くは、積分 $$J=\int_a^b F(x,y,y')\,dx$$をできるだけ小さく、あるいは大きくすることを求めます。$F$ は点の位置、曲線の高さ、その傾きによって決まります。たとえば曲線の長さは $$J=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx$$です。 方程式 ラグランジュの計算は三つのステップにおさまります。第一に、積分の変化は、$y$ と $y'$ の変化がそれぞれ引き起こす変化の和です。 $$\delta J=\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial y}\,\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\,\delta y'\right)dx.$$第二に、$\delta y'$ は $\delta y$ の導関数なので、部分積分で微分をもう一方の因子に移せます。$\delta y$ は両端でゼロなので、境界の項は消えます。

October 14, 2026 読んだ
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『解析力学』：図のない本

1687 年のニュートンの『プリンキピア』を開くと、ほとんどすべてのページに図があります。三角形、楕円、矢印、接線。百年後の 1788 年に出版されたラグランジュの『解析力学』を開くと、図は一枚もありません。著者自身が序文でそのことを誇らしげに予告し、こう付け加えています。 解析を愛する人びとは、力学が解析の新しい一分野になるのを喜んで見るだろうし、私がこうしてその領域を広げたことに感謝してくれるだろう。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ『解析力学』序文（1788） 『解析力学』（Méchanique analitique）初版の扉、パリ、1788 年。Joseph-Louis Lagrange · Wikimedia Commons · パブリックドメイン この本はベルリンで書かれ、ほとんど完成した状態でパリに持ちこまれました。これほどむずかしい論文にお金を賭けようという出版社はなく、ある書店を説きふせて出版させ、校正刷りに目を通したのは若いアドリアン＝マリ・ルジャンドルでした。印刷された本が届いたとき、ラグランジュは気分のふさいでいた時期で、二年間それを開かなかったといわれています。 力のやっかいさ ニュートンの力学では、物体がどう動くかを知るには、それにはたらくすべての力を書き出し、矢印のように足し合わせなければなりません。たとえば振り子には、重さと糸の張力がはたらきます。重さはかんたんですが、張力はそうはいきません。それは時々刻々と変わり、前もってだれにもわかりません。おもりを糸につないでおく役目しかないのに、それでも運動にたどりつくには、まずそれを計算しなければならないのです。 ラグランジュは、こうした束縛の力がそもそも現れない方法をほしがっていました。 すべてを一つの関数で ラグランジュの考えは、系を自由に選んだ座標、いちばん自然なもので記述することでした。振り子なら、一つの数で十分です。糸が鉛直線となす角 $\theta$ です。次に、その座標を使って二つのエネルギーを書きます。 $T$：運動のエネルギー（今日いう運動エネルギー） $V$：位置によってたくわえられたエネルギー（今日いう位置エネルギー） そして、今日ラグランジアンと呼ばれる一つの関数をつくります。 $$L=T-V.$$本当の運動は、オイラー＝ラグランジュ方程式を、$x$ のかわりに時間 $t$ で満たすものです。 $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0.$$ここで $q$ は座標、上に点のついた $\dot q$ はその速度で、ニュートンの記法です。これはレシピです。$L$ を書き、微分し、ゼロとおく。図も矢印もありません。 最初のテスト：自由落下 高さ $h$ にある質量 $m$ の物体では、運動のエネルギーは $T=\frac12m\dot h^2$、たくわえられたエネルギーは $V=mgh$ です。よって $$\begin{aligned}L&=\tfrac12m\dot h^2-mgh,\\ \frac{\partial L}{\partial\dot h}&=m\dot h,\qquad\frac{\partial L}{\partial h}=-mg.\end{aligned}$$方程式は $m\ddot h+mg=0$、つまり $\ddot h=-g$ となります。物体は一定の加速度 $g$ で落ちる。矢印を一本も描かずに、ガリレオの法則がふたたび得られました。

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ラグランジュ点：重力がつり合う場所

2021 年 12 月 25 日、ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡を積んだロケットがフランス領ギアナから打ち上げられました。望遠鏡はハッブルのように地球をまわる軌道には入れられませんでした。一か月かけて、ここから 150 万キロメートル離れた、いつも太陽と反対側にある宇宙の何もない一点まで旅をして、そこにとどまったのです。その点の住所は、ラグランジュが 1772 年に書いた受賞論文から出てきます。それは L2 と呼ばれています。 三つの天体 ニュートンは、引き合う二つの天体、たとえば太陽と一つの惑星の運動を完全に解きました。どちらも楕円を描きます。三つの天体、たとえば太陽、地球、月になると、すべてがややこしくなります。それぞれの天体がほかの二つを引っぱり、運動は混沌としたものになりえます。18 世紀の数学者たちはそれがかんたんではないことを知っており、パリ科学アカデミーは何度もこの問題を懸賞の課題にしました。 1772 年、賞はオイラーとラグランジュに分けて与えられました。ラグランジュの論文『三体問題についての試論』は一般解を見つけませんでした。実際、公式の形の一般解は存在しないことを、のちに 1890 年にポアンカレが示します。けれども、驚くべきものを見つけました。三つの天体が剛体のようにいっしょに回転し、それらがつくる図形の形がまったく変わらない、特殊解です。 そうなる方法は二通りあります。三つの天体が一直線に並ぶ場合で、これはオイラーが 1767 年にすでに見つけていました。もう一つは、大きさは何でもよい正三角形の頂点にあって、重心のまわりを回る場合です。この二つめがラグランジュの発見でした。 五つの点 三つの天体のうち一つがとても小さいとき、たとえば太陽と地球の近くの宇宙船のようなとき、これらの解は宇宙空間の五つの場所になります。そのどれかに置かれた宇宙船は、地球といっしょに太陽のまわりを回り、二つの天体に対していつも同じ位置を保ちます。 太陽–地球系の五つのラグランジュ点。L1、L2、L3 は二つの天体を結ぶ直線上にあり、L4 と L5 はそれらと正三角形をつくって、地球の 60° 前方と 60° 後方にある。Euler’s Eyes 作図 L1 は地球と太陽のあいだにあり、地球の引力が太陽の引力を少し打ち消すところです。 L2 は地球の向こう側にあり、二つの引力が足し合わされるところです。 L3 は太陽の向こう側にあり、地球より少し遠くにあります。 L4 と L5 は正三角形の頂点です。 L2 の計算 なぜ L2 は 150 万キロメートル先にあって、ほかの場所ではないのでしょうか。地球の外側に距離 $r$ だけ離れた物体は、太陽から $R+r$ の距離にあります。$R$ は地球と太陽の距離です。地球といっしょに回るには、地球と同じ時間、つまり一年でひと回りしなければなりません。太陽から遠いところでは、太陽の引力だけではそれに足りません。同じ向きに引っぱる地球の引力が、足りない分をおぎなうのです。 引力の合計と、曲がって進むのに必要な力が等しいという式を書き、$r$ が $R$ よりずっと小さいことを使うと、かんたんな公式にたどりつきます。

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四つの平方数で足りる

好きな正の整数を一つとって、平方数 $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ の和として、できるだけ少ない項で書いてみましょう。 $$\begin{aligned} 5&=4+1,\\ 6&=4+1+1,\\ 7&=4+1+1+1,\\ 30&=25+4+1,\\ 2026&=2025+1=45^2+1^2. \end{aligned}$$それ自身が平方数のものもあれば、二つ必要なもの、三つ必要なものもあります。7 は四つ必要で、ほかに方法はありません。五つ必要な数はあるでしょうか。1770 年、ラグランジュはないことを証明しました。 すべての正の整数は、四つの整数の平方の和である。 ゼロも平方数に数えれば、これは $n=a^2+b^2+c^2+d^2$ となる $a, b, c, d$ がいつも存在するということです。 十五世紀にわたる予想 250 年ごろ、アレクサンドリアのギリシア人ディオファントスは、ある数が四つの平方数の和に書けることを、問題のなかで説明なしに使っています。1621 年、フランスのクロード＝ガスパール・バシェはディオファントスの『算術』のラテン語版を出版し、この主張をはっきり書きました。彼は 325 まで確かめたが証明はわからない、と述べています。 ピエール・ド・フェルマーが有名な書きこみをしたのは、このバシェの本の余白でした。フェルマーは自分の無限降下法で証明したと宣言しましたが、いつものとおり、それを見せることはありませんでした。 オイラーの四十年 オイラーはおよそ四十年にわたって証明を試み、最後までたどりつけませんでした。けれども 1748 年に、いちばん大事な部品を見つけます。四つの平方数の和どうしの積は、また四つの平方数の和になることを示す恒等式です。 $$\begin{aligned} &(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)\\ &\quad=(ae+bf+cg+dh)^2\\ &\qquad+(af-be+ch-dg)^2\\ &\qquad+(ag-bh-ce+df)^2\\ &\qquad+(ah+bg-cf-de)^2. \end{aligned}$$魔法のように見えますが、両辺を展開するだけです。交差する積はすべて二つずつ打ち消し合います。たとえば $7=2^2+1^2+1^2+1^2$、$15=3^2+2^2+1^2+1^2$ です。恒等式から $$\begin{aligned}105&=7\cdot15=10^2+1^2+0^2+(-2)^2\\&=100+1+0+4.\end{aligned}$$この結果は強力です。どんな数も素数の積です。それぞれの素数が四平方和なら、恒等式によってその積も四平方和になります。したがって、定理は素数について証明すれば十分なのです。 ラグランジュの証明 ここで、1770 年、すでにベルリンにいたラグランジュが登場します。彼の証明は二段階からなり、どちらもフェルマーの降下法の仲間です。 第一段階。 どんな奇素数 $p$ についても、$x^2+y^2+1$ が $p$ の倍数になる $x$ と $y$ が存在します。理由は数え上げです。$x$ を $0$ から $\frac{p-1}2$ まで動かすと、数 $x^2$ は $p$ でわったとき $\frac{p+1}2$ 個の異なる余りを残し、数 $-1-y^2$ も同じです。$\frac{p+1}2+\frac{p+1}2=p+1$ は可能な余り $p$ 個より多いので、鳩の巣原理により、二つのリストのあいだで余りがどこかで重なります。したがって $p$ のある倍数、たとえば $mp$ は四平方和 $x^2+y^2+1^2+0^2$ になります。

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根を入れかえる：ラグランジュの定理

1770 年、代数学には二世紀以上も止まったままの問題がありました。2 次方程式には解の公式があり、3 次と 4 次の方程式の解き方も 1545 年にカルダーノが出版していました。ところが 5 次については、だれも何も見つけられませんでした。最高の数学者たちが挑み、4 次までうまくいったどの方法も 5 次でつかえてしまったのです。 ラグランジュは、もう一つ新しい方法を試すことはしませんでした。別の問いを立てたのです。古い方法はなぜうまくいくのか。 この論文で私は、これまでに見いだされた方程式の代数的解法のさまざまな方法を調べ、それらを一般的な原理に帰着させ、それらの方法がなぜ 3 次と 4 次ではうまくいき、それ以上の次数では失敗するのかを、先験的に示すことを目指す。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ『方程式の代数的解法についての考察』（1771） この論文は 200 ページを超え、1770 年と 1771 年にベルリン・アカデミーから出版されました。 根を入れかえる 中心にある考えは、方程式の根でつくった式を見て、根どうしが場所を入れかえたときにその式がどうなるかを調べることです。 2 次から始めましょう。方程式 $x^2+bx+c=0$ の根を $x_1$、$x_2$ とすると、ヴィエト以来 $$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c$$であることが知られています。この二つの式は、$x_1$ と $x_2$ を入れかえても変わりません。だから係数で書けるのです。一方、差 $x_1-x_2$ は変わります。$x_2-x_1$、つまり符号が逆になります。この式は二つの値をとります。けれどもその 2 乗は、ふたたび一つの値しかとらないので、係数で書けます。 $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=b^2-4c.$$あとは平方根をとるだけです。$x_1-x_2=\pm\sqrt{b^2-4c}$。和と差がわかれば根はすぐに出てきて、結果は 2 次方程式の解の公式になります。公式の $\pm$ は、まさに $x_1-x_2$ がとりうる二つの値の符号なのです。 4 次の秘密 ラグランジュは同じ分析を 3 次と 4 次でもおこないました。4 次では、根を $x_1, x_2, x_3, x_4$ とすると、フェラーリの技法は式 $$t=x_1x_2+x_3x_4$$を見ることにあたります。四つの根の並べかえ方は $4!=24$ 通りありますが、$t$ がとる値は三つだけです。 $$\begin{gathered}x_1x_2+x_3x_4,\\ x_1x_3+x_2x_4,\\ x_1x_4+x_2x_3.\end{gathered}$$この三つの値は、もとの方程式の係数から計算できる係数をもつ3 次方程式の根です。3 次はすでに解けるので、$t$ が求まり、そこから根が求まります。4 次方程式が解けるのは、とる値が四つより少ない根の式が存在するからなのです。

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無限小のない導関数と平均値の定理

18 世紀の終わり、微積分はとてもよく役に立っていましたが、なぜうまくいくのかをきちんと説明できる人はいませんでした。ライプニッツの $dx$ は「無限に小さい」量でした。それでわり算をするためにゼロでないものとしてあつかったかと思うと、すぐあとで、無視するためにゼロであるかのようにあつかうのです。1734 年、バークリー主教はこれをあざけって、「死んだ量の亡霊」と呼びました。 ラグランジュはこのことが気になっていました。1797 年、彼は副題そのものが一つの綱領になっている本を出版します。 微分計算の原理をふくみ、無限小、消えゆく量、極限、流率についてのあらゆる考察から解放され、有限な量の代数的解析に帰着させたもの。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ『解析関数論』（1797） 導かれた関数 ラグランジュの考えは、まともな関数ならどれもべき級数に展開できる、というものでした。変数 $x$ に増分 $i$ を与えると、 $$f(x+i)=f(x)+p\,i+q\,i^2+r\,i^3+\cdots$$となり、$p, q, r, \ldots$ は $x$ の新しい関数です。ラグランジュはこのうち最初のもの、$i$ の係数を、$f$ の導かれた関数と定義し、ダッシュをつけて $f'(x)$ と書きました。$f'$ の導関数は $f''$、以下同様です。 $f(x)=x^3$ でどうなるか見てみましょう。3 乗を展開すると、 $$(x+i)^3=x^3+3x^2\,i+3x\,i^2+i^3.$$$i$ の係数は $3x^2$ なので、$f'(x)=3x^2$ です。あとで消えてしまうものでわる必要も、何かを無視する必要もありませんでした。係数を読みとるだけでよかったのです。これこそラグランジュが望んだことでした。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 残ったダッシュ 今日、学校では導関数に二つの記号を使います。ライプニッツの $\frac{dy}{dx}$ と、ラグランジュの $f'(x)$ です。導関数（derivative）ということばもこの本から来ています。fonction dérivée、もとの関数から導かれた関数です。文字の上に点をつけて $\dot y$ と書いたニュートンの記号は、今日ではおもに物理で、変数が時間のときに使われています。 計画がつまずいたところ この計画には欠陥があり、1823 年にコーシーがそれを指摘しました。すべての関数がそのべき級数に等しいわけではないのです。関数 $$f(x)=e^{-1/x^2}\ \ (x\neq0),\qquad f(0)=0$$はゼロの近くでとても平らなので、そこでの導関数はすべてゼロになります。ゼロのまわりでのべき級数は $0+0\,i+0\,i^2+\cdots=0$ ですが、関数はゼロではありません。ラグランジュのように級数から出発するだけでは足りないのです。コーシーは極限の考えで微積分を立て直し、今日教えられているのは彼の版です。 それでもラグランジュは、その途中で、計画が難破したあとも生き残った二つの道具を見つけていました。 平均値の定理 一つめは平均値の定理で、彼は自分の級数をおさえるためにそれを必要としていました。今日の形ではこうです。$f$ が $a$ から $b$ までの区間で微分可能なら、そのあいだに少なくとも一つの点 $c$ があって、

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ラグランジュの未定乗数：制約つきの最適化

現実の決定のほとんどは、制約つきの最大・最小問題です。工場は最大の利益をあげたいが、原料の量にはかぎりがある。缶は 350 ml を入れながら、アルミニウムをできるだけ使いたくない。振り子は、おもりが糸につながっているかぎり、好きなように動く。ラグランジュは、こうした問題すべてに通用する一つの方法を見つけました。それは 1788 年の『解析力学』に、力学系の束縛をあつかうために登場し、1797 年の『解析関数論』に、計算の一般的な規則として登場します。 囲い ギリシア人もすでに解けた問題から始めましょう。20 メートルの柵で、いちばん面積の大きい長方形はどれでしょうか。辺を $x$、$y$ とすると、 $$f(x,y)=xy\qquad\text{を制約}\qquad g(x,y)=x+y=10$$のもとで最大にしたいのです。ここでは $y=10-x$ と解いて $x(10-x)$ を最大にするのはかんたんです。けれども多くの問題では、制約は複雑な方程式で、何も解き出せません。ラグランジュは、そうする必要がまったくない方法をほしがっていました。 新しい文字 ラグランジュのレシピは、今日 $\lambda$ と呼ばれる新しい未知数、乗数を加え、$f$ の導関数が $g$ の導関数に比例することを要求するものです。 $$\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial y},\\ g(x,y)&=10.\end{aligned}$$囲いの場合、$\frac{\partial f}{\partial x}=y$、$\frac{\partial f}{\partial y}=x$ で、$g$ の導関数はどちらも $1$ です。方程式は $$y=\lambda,\qquad x=\lambda,\qquad x+y=10$$となり、$x=y=5$。最良の長方形は 5 × 5 の正方形で、面積は 25 m² です。何も解き出す必要はありませんでした。制約は方程式が一つ増える形で、$\lambda$ は未知数が一つ増える形で入ってきたのです。 なぜうまくいくのか 下の図は、面積 $xy$ が一定の値 9、16、25、36 になる曲線と、制約の直線 $x+y=10$ を示しています。直線にそって進むと、面積がだんだん大きい曲線を通り、面積 25 の曲線までいきます。そこを過ぎると、面積はまた小さくなります。面積 36 の曲線は直線にふれることさえありません。 最適な点では、制約の直線と面積 25 の曲線が交わらずにふれ合う。つまり接している。Euler’s Eyes 作図 最適な点では、直線と最大面積の曲線は接しています。もし交わっていたら、直線にそってもう少し進み、もっと面積の大きい曲線に入れるはずです。接している曲線は同じ向きをもつので、そこでは $f$ と $g$ の導関数が比例します。乗数 $\lambda$ はその比例の係数なのです。

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ラグランジュの遺産

ラグランジュは数学の諸科学にそびえる高いピラミッドである。 — ナポレオン・ボナパルト、同時代人の伝えるところによる ラグランジュは、パスカルのような早熟の天才の逸話も、オイラーほどの量の著作も残しませんでした。彼が残したのは別のもの、数学をするやり方です。ほかの人が図を描くところで、彼は計算しました。ほかの人が問題ごとに技法を見つけるところで、彼はすべての技法を説明する規則を探しました。彼のしたことのほとんどは、今も彼の名とともに教科書にのっています。オイラー＝ラグランジュ方程式、ラグランジアン、ラグランジュ点、ラグランジュの定理、ラグランジュの剰余項、ラグランジュの乗数。 ニュートンについて ラグランジュはだれよりもニュートンを尊敬していましたが、そこには隠そうとしない少しのうらやましさもまじっていました。伝記作者ドランブルは、彼がよく口にしていたことばを書きとめています。 ニュートンはかつて存在したもっとも偉大な天才であり、またもっとも幸運な人でもあった。世界の体系を打ち立てられるのは、ただ一度きりなのだから。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、ドランブルによる（1814） メートルと 10 進法 1790 年からメートル法をつくった委員会で、ラグランジュはあらゆる単位の10 進の分割を支持し、約数の多い 12 進法を好む人びとに反対しました。12 の約数の多さはそれほど大事ではないことを示そうとして、なかば冗談に、素数である 11 を底にすることまで提案したといわれています。すべて 10 ずつに分けられるメートル、リットル、グラムには、彼の仕事も少しふくまれているのです。 点を通る多項式 1795 年、パリの高等師範学校の講義で、ラグランジュは与えられた点を通る多項式を求める公式を示しました。三点 $(x_0,y_0)$、$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ に対しては、 $$\begin{aligned}P(x)={}&y_0\,\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\\&+y_1\,\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\\&+y_2\,\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.\end{aligned}$$考えはかんたんです。それぞれの分数は自分の点では $1$、ほかの二点では $0$ になるので、$P(x_0)=y_0$、$P(x_1)=y_1$、$P(x_2)=y_2$ となります。イギリスのエドワード・ウェアリングが 1779 年にすでに同じ公式を発表しており、オイラーも知っていましたが、名前はラグランジュ補間として残りました。今日では電卓やコンピュータの数値計算法のなかに、さらには秘密を何人かに分けて預ける暗号の方法のなかにもあります。 残ったもの 物理学。 『解析力学』は力学を解析学の一分野にしました。相対性理論、量子力学、標準模型は、今もラグランジアン $L=T-V$ の形で書かれています。 変分法。 オイラーとともに、ラグランジュは最良の曲線を選ぶ数学をつくりました。光学からロケットの制御まで使われています。 天文学。 ラグランジュ点には宇宙望遠鏡がおかれ、何千ものトロヤ群小惑星がすみついています。 数論。 四平方定理は、ウェアリングの問題と、ルジャンドルやガウスが引きついだ二次形式の研究への道を開きました。 代数学。 根の置換についての考察は、ルフィニ、アーベル、ガロアの仕事と群論を準備しました。 解析学。 記号 $f'(x)$、導関数ということば、平均値の定理、ラグランジュの剰余項は、どの微積分の授業にも出てきます。 ラグランジュが生まれた町トリノにある彼の像。Twice25 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 あちこちに残る名前 ラグランジュはパリのパンテオンに葬られており、その名はエッフェル塔に刻まれた 72 人の名の一つです。トリノには彼の名のついた広場と通りと像があり、イタリアとフランスは、彼がイタリアの数学者なのかフランスの数学者なのか、今も言い合っています。月にはラグランジュというクレーターがあります。彼が 28 歳のときにその秤動を説明した、あの月です。そして 1006 Lagrangea という小惑星もあります。 イタリア人か、フランス人か？ ラグランジュはフランス系の家に生まれたトリノの人で、最初の論文はラテン語とイタリア語で、その後のほとんどはフランス語で書きました。イタリアで 30 年、プロイセンで 20 年、フランスで 26 年を過ごしています。イタリア人は彼をジュゼッペ・ルイージ・ラグランジャと呼び、フランス人はジョゼフ＝ルイ・ラグランジュと呼びます。

October 14, 2026 読んだ
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ラグランジュの画像クレジット

歴史的な画像 すべてウィキメディア・コモンズから取得しました。コモンズが提供する縮小画像を、編集せずに使っています。 ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの肖像、作者不詳の版画：出典ページ · パブリックドメイン。 ラグランジュの横顔のメダイヨン、ピエール＝ジャン・ダヴィッド・ダンジェ作のブロンズ、アンジェ美術館蔵：出典ページ · CC0。 『解析力学』（Méchanique analitique）の扉、パリ、1788 年：出典ページ · パブリックドメイン。 トリノのラグランジュ像、Twice25 撮影、2009 年：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 ブログの図 表紙、五つのラグランジュ点の図、そして面積の等しい曲線と制約の直線のグラフは、このサイトのそれぞれの言語版を用意したオリジナルの図です。ラグランジュ点の図は縮尺どおりではありません。実際には、L1 と L2 は、太陽と地球の距離の百分の一しか地球から離れていません。 記録 ファイル data/lagrange_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後にあります。 ラグランジュの全トピック · ← ラグランジュの遺産

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