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注目行の計算

中央値、高さ、角の二等分線 は 3 辺からのみ計算できます。すべての公式は計量関係から生まれます。そして、スチュワートの単一の関係がそれらをすべて一度に解決します。 発見者 中央値の公式はアポロニウスの定理として知られており、 アレクサンドリアのパポはこの定理をペルガのアポロニウス (紀元前3世紀) によるものであるとしています。高さの公式は、 三角形の面積を辺の関数として表すサギの公式を使用しており、1 世紀にアレクサンドリアのサギがメートル法で実証しました(アラブ人はこれをアルキメデスの作としました)。頂点を反対側に接続する線分に成り立つ関係は、スコットランド人のマシュー・ スチュワートによって 1746 の書籍数学の高等部分でかなり使用される一般定理の中で発表されました。 ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。ジョバンニ・バッティスタのメモ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アルキメデス、後の芸術的表現。ドメニコ・フェティ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン マシュー・スチュワート。作者不明 作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 スチュワート (1717 – 1785) はグラスゴーでロバート シムソン、エディンバラでコリン マクローリンの学生であり、マクローリンの後任として数学教授として就任しました。彼は、太陽までの距離の計算などの天文学的な問題に対しても、ギリシャ風に純粋に幾何学的な方法を提唱しました。 ロバート・シムソン。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン コリン・マクローリン。David Steuart Erskine (1742–1829) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 頂点と反対側の点を結ぶ線分は、今日ではイタリアのジョバンニ チェヴァ (1678) にちなんでチェヴィアーナと呼ばれています。中央値、身長、および 角の二等分線 は特定の Cevian であるため、スチュワートの関係式によりそれらすべての式が得られます。

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計量関係とコサイン定理

ピタゴラスの定理には角度が正しくない場合の修正項があります。この用語は余弦の法則です。 発見者 このトピックの計量関係は、ユークリッド (紀元前 300 頃) の 原論 にあります。地域言語では、命題 II.12 は鈍角の反対側を扱い、II.13、鋭角の反対側。コサイン形式 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ は、三角関数表とともにずっと後に登場しました。ペルシャの天文学者ジャムシード・ アル= カシは、1427 の算術の鍵でそれを発表しました。フランスでは、余弦の法則は今でもテオレム・ダル・カシと呼ばれています。 フランソワ・ ヴィエットは1593にコサインを付けて書きました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン フランソワ・ヴィエテ。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ユークリッドには長さを表すコサインや数値はありませんでした。同氏は、鈍角の反対側の辺の正方形は、他の2辺の正方形の合計よりも、一方の辺と他方の辺の投影によって形成される「長方形の2倍」大きいと述べた。このトピックと同じ関係で、領域で書かれています。 $a^2$ と $b^2 + c^2$ を比較すると、簡単なテストが行​​われます。3 つの辺を知るだけで、三角形が鋭角か直角か鈍角かがわかります。 日常生活での応用 航海。 10 km 進み、40° 回転してさらに 6 km 進むボートは、余弦の法則によって計算される港からの距離です。 ロボット工学。 2 セグメントのロボット アームの関節角度は余弦の法則によって計算されます。 地形 土地の 2 つの辺とそれらの間の角度を測定すると、3 番目の辺は余弦の法則から外れます。 スポーツ アナリストは、2 人のプレーヤーと 3 人目のプレーヤーの間の距離とそれらの間の角度に基づいてパスの距離を計算します。 出典: 要素、命題 II.12 · 要素、命題 II.13 · Al-Kashi (MacTutor)。

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サイン定理

どの三角形でも、各辺を反対角の正弦で割ると、常に同じ数値、つまり外接円の直径が得られます。 発見者 サインの法則は、天球上に描かれた三角形のために天文学で生まれました。この球形のものは、10 世紀にアブ・アル・ワファやアブ・ナスル・ マンスールなどイスラム世界の天文学者によって入手されました。平面三角形の形は、三角法を天文学から独立した学問としたペルシアのナーシル・アル・ディン・ アル・トゥシによる四角形に関する論文 (1260) に体系的に現れています。ヨーロッパでは、1464 で書かれ 1533 で印刷されたレギオモンタヌス によるあらゆる種類の三角形についてという本によって広まりました。 アブ・アル・ワファ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ナシル・アル・ディン・アル・トゥシ、後の芸術表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン レギオモンタヌス。正体不明の記録者。スミソニアン博物館のコレクション · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 正弦波が登場する以前、天文学者は和音を扱いました。ヒッパルコスとプトレマイオスは円の各弧の和音を表にしました。円弧の弦は中心角の半分の正弦の 2 倍です。これが正弦の法則が本質的に円の弦の結果である理由であり、このトピックのデモンストレーションでは正確に外接円を使用します。 ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 正弦の法則を使用すると、距離と 2 つの角度を測定するだけで、三角形の反対側を計算できます。これは、17 世紀から 19 世紀にかけて国全体を測る三角測量の原理でした。

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「スチュワートの関係」

以前の投稿では、三角形の定理について説明しました。スチュワートの定理としても知られるスチュワートの関係は、三角形の辺の長さとセビアンの長さを関係付ける幾何学の重要な公式です。セビアンは、三角形の頂点から始まり、反対側の辺と交わる線分です。 この関係は、中央値、二等分線、高さなど、三角形内のセグメントの長さを決定する問題を解決するのに役立ちます。 歴史 スチュワートの定理としても知られるスチュワート関係は、スコットランドの数学者マシュー スチュワートによって発見されました。 1717 年に生まれたスチュワートは、幾何学と数学全般に多大な貢献をしました。彼はグラスゴー大学とエディンバラ大学で学び、そこでロバート・シムソンやコリン・マクローリンなどの著名な数学者の影響を受けました。 スチュワートの定理は、三角形の辺の長さを、三角形の頂点から反対側の任意の点に向かう直線セグメントであるセビアンの長さに関連付けます。定理の公式は平面幾何学の問題を解くのに役立ち、余弦の法則またはピタゴラスの定理を使用して証明できます。 マシュー・スチュワートは、1746 年に著書「数学の高等部でかなり使用される一般定理」の中でこの定理を発表しました。スチュワートの定理に加えて、彼は惑星の運動と太陽と地球の間の距離に関連する問題にも取り組みました。 アプリケーション スチュワートの関係は、三角形の辺の長さとセビアン (頂点から反対側の任意の点に向かう直線セグメント) の長さを関係付ける数式です。これは幾何学では強力なツールですが、日常生活での応用はすぐには分からないかもしれません。ただし、この関係が役立つ実際的な方法をいくつか紹介します。 建築とエンジニアリング: 構造物を構築する場合、スチュワート比は構造コンポーネントの長さと角度を計算するのに役立ち、すべてが正しく適合し、構造が安定していることを確認します。 グラフィック デザインとアニメーション: グラフィック デザイン、特にアニメーションと 3D モデリングでは、図のさまざまな部分間の関係を理解することが、正確で現実的なモデルを作成するために重要です。 ナビゲーションと地図作成: スチュワート関係は、特に三角測量を使用する場合に、地図上の距離と位置を決定するためのナビゲーション計算に使用できます。 ロボット工学: ロボット工学では、動作とコンポーネントの構造の精度が不可欠です。スチュワート関係は、ロボット アームやその他の機構の正確な動きを計算するのに役立ちます。 天文学: 天文学では、星と他の天体との間の距離を測定するために三角測量がよく使用されます。スチュワート比は、これらの計算に役立つツールとなります。 これらは、スチュワート関係の多くの実際的な応用例のほんの一部です。これは、精密な幾何学的計算が必要ないくつかの分野に適用できる多用途ツールです。 重要性 スチュワート関係は、三角形の辺の長さを、三角形の頂点から始まり反対側の辺と交差する直線セグメントであるセビアンの長さに関係付ける、平面幾何学の強力な公式です。この関係の実際的な応用例をいくつか示します。 中央値の計算: スチュワート関係を使用して、三角形の中央値の長さを求めることができます。これは、頂点から始まり反対側の辺を 2 つの等しいセグメントに分割するセビアンです。 内部二等分線の計算: 別の用途は、三角形の内部二等分線の長さを決定することです。これは、三角形の角を 2 つの等しい角度に分割する角度です。 高度な幾何学問題: この関係は、大きな円内の他の 3 つの円に接する小さな円の半径を求めるなど、より複雑な幾何学問題にも役立ちます。 これらのアプリケーションは、スチュワート関係がさまざまな幾何学的問題を解決するための多用途かつ不可欠なツールであることを示しています。実用的で詳細な例を見たい場合は、この関係をさまざまなコンテキストに適用する方法を段階的に説明する教育ビデオがいくつかあります。 三角形の中央値の計算 辺を $a$、$b$、$c$ とし、それぞれの中央値を $m_a$、$m_b$、$m_c$ とします。図に示すように、鈍角 $\hat{D}$ $ADC$ を持つ三角形と、鋭角 $\hat{D}$ を持つ三角形 $ADB$ の 2 つの三角形を考えます。 前回の投稿のメトリック関係を使用すると、次のようになります。 \begin{cases} b^2 = m^2_a + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 2\frac{a}{2}x\\ c^2 = m^2_a + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2\frac{a}{2}x\\ \hline \end{cases} \[b^2 + c^2 = 2m^2_a + 2 \frac{a^2}{4} \] 結果として: