平面幾何学

章 16 — 正多角形

16 第16章 · この章で学ぶこと正多角形正多角形を認識し、それらが内接可能および外接可能であることを証明します。中心、辺心距離、および中心角を特定します。正方形、六角形、正三角形の辺と辺心距離を半径の関数として計算します。正十角形と五角形の辺を求めて黄金線分を認識します。六角ナット、ハニカム、一時停止の標識、時計の歯車など、正多角形では、中心の周りに同じピースを繰り返す必要があります。この章では、すべての正多角形が同じ中心を持つ 2 つの円の間に正確に収まることを証明し、その辺と半径から辺心距離を計算します。この計算は、ほぼ 2000 年前に最初の三角関数表を作成するために使用されました。ハニカム：正六角形を隙間なく貼り合わせたもの。六角ナットとネジ頭。 I. 概念と特性円を等分すると正多角形ができます。逆も当てはまります。すべての正多角形には、すべての頂点を通過する円と、すべての辺に接する円があります。発見者正多角形の内接と外接は、ユークリッド (紀元前 300 頃) の原論の書 IV の主題です。彼は定規とコンパスを使って正三角形、正方形、五角形を構築します (命題) IV.11)、六角形 (IV.15)、および 15 辺の多角形 (IV.16)。二千年の間、カール・フリードリヒ・ガウスが1796 で正17 辺多角形を構築し、1801 でどのような正多角形が構築できるかを示すまで、これを超える人はいませんでした。 1837 ではピエール・ヴァンツェルが他のものは不可能であることを証明しました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインカール・フリードリヒ・ガウス。Christian Albrecht Jensen (1792–1870) · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史ガウスとヴァンツェルの結果によると、$n$ が 2 のべき乗にさまざまなフェルマー素数 (3、5、17 など、$2^{2^k} + 1$ の形式の素数) を掛けたものである場合に、$n$ の辺を持つ正多角形を直定規とコンパスで正確に作成できることがわかります。 257 と 65 537。そのため、七角形 (7 辺) と九角形 (9 辺) は構築できませんが、257 辺を持つ多角形は構築できます。フリードリヒリシュローは 1832 でその構築を発表しました。

October 12, 2026 読んだ

15 章の演習 — 任意の三角形

正弦の法則 624 $\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$ と $\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$ がわかっているので、以下を決定します。 a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$; b) $\cos 150^{\circ}$; c) $\cos 135^{\circ}$; d) $\operatorname{sen}150^{\circ}$; e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$; f) $\cos 120^{\circ}$。解答を見るa) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · b) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · c) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · d) $\dfrac{1}{2}$ · e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · f) $-\dfrac{1}{2}$ 625 以下の場合の$x$の値を求めます。解答を見るa) $6\sqrt{2}$ · b) $6\sqrt{6}$ 626 次の場合の三角形に外接する円の半径を求めます。解答を見るa) $4\sqrt{3}$ · b) $9\sqrt{2}$ 627 次の場合の $x$ の値を取得します。 a) $ABCD$ が平行四辺形である。 b) $ABCD$ は等脚台形です。解答を見るa) $6\sqrt{2}$ · b) $12\sqrt{2}$

October 12, 2026 読んだ

注目行の計算

中央値、高さ、角の二等分線は 3 辺からのみ計算できます。すべての公式は計量関係から生まれます。そして、スチュワートの単一の関係がそれらをすべて一度に解決します。発見者中央値の公式はアポロニウスの定理として知られており、アレクサンドリアのパポはこの定理をペルガのアポロニウス (紀元前3世紀) によるものであるとしています。高さの公式は、三角形の面積を辺の関数として表すサギの公式を使用しており、1 世紀にアレクサンドリアのサギがメートル法で実証しました（アラブ人はこれをアルキメデスの作としました）。頂点を反対側に接続する線分に成り立つ関係は、スコットランド人のマシュー・スチュワートによって 1746 の書籍数学の高等部分でかなり使用される一般定理の中で発表されました。ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。ジョバンニ・バッティスタのメモ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインアレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインアルキメデス、後の芸術的表現。ドメニコ・フェティ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインマシュー・スチュワート。作者不明作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史スチュワート (1717 – 1785) はグラスゴーでロバートシムソン、エディンバラでコリンマクローリンの学生であり、マクローリンの後任として数学教授として就任しました。彼は、太陽までの距離の計算などの天文学的な問題に対しても、ギリシャ風に純粋に幾何学的な方法を提唱しました。ロバート・シムソン。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインコリン・マクローリン。David Steuart Erskine (1742–1829) · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン頂点と反対側の点を結ぶ線分は、今日ではイタリアのジョバンニチェヴァ (1678) にちなんでチェヴィアーナと呼ばれています。中央値、身長、および角の二等分線は特定の Cevian であるため、スチュワートの関係式によりそれらすべての式が得られます。

October 12, 2026 読んだ

計量関係とコサイン定理

ピタゴラスの定理には角度が正しくない場合の修正項があります。この用語は余弦の法則です。発見者このトピックの計量関係は、ユークリッド (紀元前 300 頃) の原論にあります。地域言語では、命題 II.12 は鈍角の反対側を扱い、II.13、鋭角の反対側。コサイン形式 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ は、三角関数表とともにずっと後に登場しました。ペルシャの天文学者ジャムシード・アル＝カシは、1427 の算術の鍵でそれを発表しました。フランスでは、余弦の法則は今でもテオレム・ダル・カシと呼ばれています。フランソワ・ヴィエットは1593にコサインを付けて書きました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインフランソワ・ヴィエテ。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史ユークリッドには長さを表すコサインや数値はありませんでした。同氏は、鈍角の反対側の辺の正方形は、他の2辺の正方形の合計よりも、一方の辺と他方の辺の投影によって形成される「長方形の2倍」大きいと述べた。このトピックと同じ関係で、領域で書かれています。 $a^2$ と $b^2 + c^2$ を比較すると、簡単なテストが行われます。3 つの辺を知るだけで、三角形が鋭角か直角か鈍角かがわかります。日常生活での応用航海。 10 km 進み、40° 回転してさらに 6 km 進むボートは、余弦の法則によって計算される港からの距離です。ロボット工学。 2 セグメントのロボットアームの関節角度は余弦の法則によって計算されます。地形土地の 2 つの辺とそれらの間の角度を測定すると、3 番目の辺は余弦の法則から外れます。スポーツアナリストは、2 人のプレーヤーと 3 人目のプレーヤーの間の距離とそれらの間の角度に基づいてパスの距離を計算します。出典: 要素、命題 II.12 · 要素、命題 II.13 · Al-Kashi (MacTutor)。

October 12, 2026 読んだ

サイン定理

どの三角形でも、各辺を反対角の正弦で割ると、常に同じ数値、つまり外接円の直径が得られます。発見者サインの法則は、天球上に描かれた三角形のために天文学で生まれました。この球形のものは、10 世紀にアブ・アル・ワファやアブ・ナスル・マンスールなどイスラム世界の天文学者によって入手されました。平面三角形の形は、三角法を天文学から独立した学問としたペルシアのナーシル・アル・ディン・アル・トゥシによる四角形に関する論文 (1260) に体系的に現れています。ヨーロッパでは、1464 で書かれ 1533 で印刷されたレギオモンタヌスによるあらゆる種類の三角形についてという本によって広まりました。アブ・アル・ワファ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインナシル・アル・ディン・アル・トゥシ、後の芸術表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインレギオモンタヌス。正体不明の記録者。スミソニアン博物館のコレクション · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史正弦波が登場する以前、天文学者は和音を扱いました。ヒッパルコスとプトレマイオスは円の各弧の和音を表にしました。円弧の弦は中心角の半分の正弦の 2 倍です。これが正弦の法則が本質的に円の弦の結果である理由であり、このトピックのデモンストレーションでは正確に外接円を使用します。ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインクラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン正弦の法則を使用すると、距離と 2 つの角度を測定するだけで、三角形の反対側を計算できます。これは、17 世紀から 19 世紀にかけて国全体を測る三角測量の原理でした。

October 12, 2026 読んだ

章の演習 14 — 直角三角形

メトリックの関係 506 以下の場合の$x$の値を求めます。解答を見るa) 5 ・ b) 12 ・ c) $\sqrt{7}$ ・ d) $3\sqrt{3}$ 507 次の場合、$x$ を $a$ の関数として決定します。解答を見るa) $a\sqrt{3}$ b) $\dfrac{a}{2}$ 508 次の場合に $x$ を決定します。解答を見るa) 12 ・ b) 24 ・ c) 20 ・ d) 8 509 次の場合に $x$ を決定します。解答を見るa) $2\sqrt{29}$ b) 9 510 図に示されている要素との 10 メトリック関係を記述します。解答を見る特に: $b^2 + a^2 = n^2$、$c^2 + a^2 = m^2$、$\dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{a^2}$。

October 12, 2026 読んだ

ピタゴラスの定理の応用

正方形の対角線、正三角形の高さ、および 30°、45°、60° の三角比はすべて同じ定理から得られます。発見者正方形の対角線はすでに次のように計算されています。バビロニア人: タブレット YBC 7289 (紀元前 1800 ～ 1600 年頃) $\sqrt{2}$ 小数点以下 6 桁が正しい。直角三角形の辺間の比率は、天文学的な表として始まりました。ニカイアのヒッパルコス (紀元前 2 世紀) 文字列テーブルをセットアップした、インディアンアリヤバータ (499) ハーフロープを使い始めた — 私たちの正弦 —そしてイスラムの天文学者は次のように述べていますアブ・アル・ワファ (10 世紀) 組織化されたシャドウテーブル、私たちの接線。辺のあるすべてのピタゴラス三角形を生成する公式 $x^2 - y^2$, $2xy$ そして $x^2 + y^2$、本の標語に登場します要素のユークリッド. ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインアリヤバータ、後の芸術表現。Cpjha13 · ウィキメディアコモンズ · CC BY-SA 4.0 アブ・アル・ワファ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史エジプト人はすでに三角比を使用してピラミッドを建設しました。リンドのパピルス (紀元前 1650 年頃) は、高さ 1 キュビトごとに顔が水平方向に何手のひら分進むかというセク、つまり顔の傾き、コタンジェントを計算しています。

October 12, 2026 読んだ

メトリックの関係

斜辺の二乗は脚の二乗の和です。しかし、これは直角三角形の中で高さによって明らかになるいくつかの関係のうちの 1 つにすぎません。発見者直角三角形の辺間の関係は、直角三角形よりもはるかに古いものです。サモス島のピタゴラス（紀元前6世紀）。取締役会バビロン紀元前 1800 年頃からは、3、4、5 などの用語を使用し、正方形の対角線を計算します。あなたスルバ・スートラからのインド（紀元前 800 ～ 500 年頃）祭壇を築くための規則が述べられています。そして中国語のテキスト周美蘇京視覚的な証拠を提供します。ギリシャの伝統ではこの定理はピタゴラスと関連付けられていましたが、ピタゴラスがそれを実証したという文書による証拠はありません。私たちに伝わる最も古いデモは、要素のユークリッド (紀元前 300 年頃): 命題 I.47 定理を面積によって証明し、 I.48 を証明する相互。ピッチとの関係 — 各脚とピッチとして比例平均 — 提案の中にあります VI.8 そしてその結果。サモス島のピタゴラス、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史この章の証明は、第 VI 巻のユークリッドの証明です。高さは三角形を元の三角形と同様の 2 つの三角形に分割し、比率は計量関係を示します。それらを 2 つ足すとピタゴラスの定理が得られます。数学における記述は、これほど多くの方法で証明されているものはほとんどありません。アメリカの教授エリシャルーミスは、1940 版の本のピタゴラス命題の中で、370 のさまざまな実証をまとめました。その中には、将来のアメリカ合衆国大統領ジェームズガーフィールドによるものもあります。 1876、空中ブランコで作りました。

October 12, 2026 読んだ

図形の拡大・縮小

写真を拡大すると写真は大きくなりますが、顔は伸びたり平らになったりしません。写真は拡大: すべてが同じ速度で拡大しました。変形せずに拡大する性質 · 倍率のルール図形を変形させずに拡大または縮小するには: すべての辺に同じ数を掛けます。角の角度は同じにしておきます。 1 より大きい場合は拡大されます。 1/2 など、1 未満の場合は減額されます。数値を変更して、黄色の図と元の青色の図を比較します。周囲とそのエリアに何が起こるかを観察してください。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。エリアの成長が早い 1cmの正方形の各辺を折り畳むと、2cmの正方形が得られます。でも中には収まる 2 ではなく 4 マスです。正方形は右に 2 倍、2 倍に成長しました: 2 × 2 = 4。辺の乗算周長は面積は 2 2倍 4倍 3 3倍 9倍 ½ 半分 4倍小さい地図とモデル地図は近隣または都市を縮小したものであり、モデルは建物を縮小したものです。スケールすべてが何倍に縮小されたかを示します。1 から 100 のスケールで、図面の各センチメートルは 100 センチメートル (1 メートル) の真実。人形の敷物リビングルームのカーペットのサイズは 2 m x 3 m です。ドールハウス用に彼のミニチュアが側面から作られました 10 回小さくします。人形の敷物の寸法は何センチですか? 答えを確認してください 2 m = 200 cm、および 3 m = 300 cm。 10で割ると： 20 cm × 30 cm.

October 12, 2026 読んだ

市松模様のメッシュの周囲と面積

菜園の柵を作るには、菜園の周りにどれだけのワイヤーが張り巡らされているかを知る必要があります。植えるために知っておくべきこと中の床はどのくらいありますか。測定には周囲と面積の 2 種類があります。外周: 周囲の道定義 · 周囲周囲とは、図形の輪郭の測定値であり、すべての辺の長さの合計です。 2 m × 1 m の長方形のテーブルの周りを回るアリは、2 + 1 + 2 + 1 = 6 m を歩きます。これは、テーブルの周囲。面積：中にどれだけ入るか定義 · エリア面積は、図形の表面の寸法です。メッシュ内で、何個の正方形がカバーされているかを数えます。図。正方形の一辺が1cm である場合、面積を平方センチメートル (cm²) で表します。四角形をクリックして図を作成します。 3 × 4 の長方形と 12 個の正方形の長いストリップを比較してください。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。長方形のショートカットそれぞれが 4 個の正方形を持つ 3 行の長方形では、それらを 1 つずつ数える必要はありません。 3 × 4 =12 マスです。長方形の面積は縦×横です。

October 12, 2026 読んだ

対称

シートを半分に折り、折り目のデザインを切り取って開きます。2 つの半分は等しく、1 つは等しくなります。相手を「反映」すること。この図は対称性を持っています。対称軸定義 · 対称軸図形を 2 つの半分に分けて交わる線がある場合、図形には対称軸があると言えます。この線に沿って図形を折るとぴったりフィットします。それぞれの半分は鏡に映したもう一方の半分です。片側の四角形をクリックすると、ミラーがもう一方の側をペイントします。バタフライを試して、車軸を変更してください。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。図形には軸が何本ありますか? 描かれたハートの軸は1(縦)です。この長方形には 2 個の軸があり、1 つは立っており、もう 1 つは寝ています。この正方形には4軸があり、辺の中央を通る2本と対角線を通る2本の軸があります。この円には無限の軸、つまり中心を通る任意の線があります。文字Fのように、軸がまったくない図形もあります。正方形の 4 つの対称軸。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 12, 2026 読んだ

ポリゴン: 辺と頂点

鉛筆を紙から離さず、最初に戻るまで直線ピースだけで図形を描きます道を渡らずに。これで多角形が描けました！ポリゴンとは何ですか定義 · ポリゴン 1つポリゴン平らな図形です閉まっている、によってのみ形成されますまっすぐな部分（あなた側面）それ交差しないでください。 2つの辺が交わる点は、頂点. 円は多角形ではありません。その輪郭は曲線です。開いた図形もポリゴンではありません。面の数を選択し、黄色のボールをドラッグします。二つの側が交差すると何が起こるでしょうか? このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。ポリゴンの名前どの多角形も辺と頂点の数は同じです。名前は、その数を示します。側面名前覚えて 3 三角形「tri」 = 3、三輪車のように 4 四角形「クアドリ」= 4 5 五角形アメリカの国防総省の建物 6 六角形ハニカム 8 八角形一時停止の標識一時停止の標識 STOP 標識の面は 8 で、八角形です。この形式の道路標識は他にはありません。ドライバーは後方や雪に覆われた場所からも認識します。四角形: 4 つの辺の集合四角形の中には正方形、長方形、ひし形など特別な名前が付いているものもあります。 (黄色の警告標識のような)、平行四辺形と台形です。あなたはそれらを一緒に勉強します初級Ⅱでは落ち着いてください。マッチ棒 12 個の等しいつまようじを使用して、3 辺を持つ多角形、4 辺を持つ多角形、および 6 辺を持つ多角形を組み立てます。それぞれにつまようじ。つまようじは両側に何本ありますか? 答えを確認してください三角形: 12 ÷ 3 = 4スティック側に。平方: 12 ÷ 4 = 3スティック。六角形: 12 ÷ 6 = 2スティック.

October 12, 2026 読んだ