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定規とコンパスを使った作図

マークのない定規とコンパス。この 2 つの道具だけを使って、ギリシャ人は中点、垂線、平行線を極めて正確に作成しました。 発見者 古典的な構造は、ユークリッド の 原論 (紀元前 300 頃) の 垂直二等分線 と中間点 (命題 I.10) の 角の二等分線 にあります。 (I.9)、1 点による垂直(I.11およびI.12)、1 点による平行(I.31)。マークのない定規とコンパスのみを使用するというルールは、ユークリッドの最初の 3 つの公準から来ています。つまり、2 点を通る直線を引き、それを延長し、任意の中心と半径の円を描きます。 歴史 ギリシャ人にとって、 建設とは図面の形での実証であり、各段階はすでに証明された結果によって正当化される必要がありました。だからこそ、目盛り付き定規には価値がなかったのです。測定は概算であり、構築は保証です。 2,000 年以上にわたってこれらのツールに抵抗してきた 3 つの有名な問題は、あらゆる角を 3 等分すること、別の体積の 2 倍の立方体を構築すること、円と同じ面積の正方形を構築することです。 19 世紀、ピエール ヴァンツェル (1837) とフェルディナント フォン リンデマン (1882) は、定規とコンパスだけではこの 3 つが不可能であることを証明しました。 日常生活での応用 大工仕事と金属細工。 ドライポイント コンパスは中心をマークし、ピースを半分に分割し、直角を必要とせずに垂直を描きます。 技術図面。 CAD プログラムや GeoGebra の「垂直二等分線」、「角の二等分線」、および「垂直」ツールは、Euclid の構造を繰り返します。 ガーデニング。 2 本の杭と紐を使って、円形の花壇や壁に垂直な線を引くことができます。 4つの構造 各図で、点をドラッグして 1 ステップずつ進めます。本物の定規とコンパスを使って、紙の上で作図を繰り返します。 垂直二等分線 と中点 定義 · 垂直二等分線 線分$\overline{AB}$ の垂直二等分線 は、$\overline{AB}$の中点を通る垂線です。 垂直二等分線 上のすべての点は、$A$ および $B$ から同じ距離にあります。

October 12, 2026 読んだ
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読書: ルジャンドル: 厳密で教訓的な幾何学を目指して

補足資料 補足資料 ルジャンドル: 厳格で教訓的な幾何学を目指して 古代ギリシャでは公理はあらゆる学問分野に共通の真理、公準は特定の分野の真理を意味していたようです。ユークリッドは 5 つの公準 (その中には、任意の点から他の点に直線が引かれること、すべての限られた直線が伸びること、任意の中心と半径で円が描かれること、直角は等しいこと、そして有名な 5 番目の平行線の公準) と、「同じものに等しいものは互いに等しい」や「全体は部分よりも大きい」などの 5 つの公理を仮定しました。それ以来、原論 は演習や応用なしで定理をガタガタ言い続けます。このテキストは現代の基準からするとあまり教訓的ではありません。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 18 世紀のフランスでは、ユークリッドをよりわかりやすくするための本がいくつか出版されましたが、その多くは厳密さを犠牲にしていました。注目すべき例外は、アドリアン・マリー・ ルジャンドルによる幾何学の要素 (1752 – 1833) でした。ルジャンドルは、楕円関数と二次相互法則を完全に説いた数論の研究で才能を発揮し、厳密さと教訓を調和させた彼の幾何学の本は、著者の存命中にフランスで20版を発行しました。 1809 ではリオデジャネイロで翻訳され、翌年創設された王立陸軍士官学校で採用されました。約 40 年間、ルジャンドルは他の公準から 5 番目の公準を証明しようとしましたが、これは不可能な作業でした。しかし、この試みにおいても彼は素晴らしい創意工夫を示しました。 アドリアン＝マリー・ルジャンドル、ジュリアン＝レオポルド・ボイリーの風刺画。ジュリアン＝レオポルド・ボイリー · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

October 11, 2026 読んだ
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12 章の演習 — タレスの定理

演習と解決策 413 $r$、$s$、$t$ の平行線を使用して、以下のそれぞれの場合の $x$ の値を求めます。 解答を見るa) 3 ・ b) 12 ・ c) 15 ・ d) 6 414 図中、$r$、$s$、$t$ の線は平行です。 $x$と$y$の値を決定します。 解答を見るa) $x = \dfrac{10}{3}$ b) $x = \dfrac{25}{6}$ c) $x = \dfrac{10}{3}$ および $y = \dfrac{18}{5}$ 415 図において、$\overline{MN}$は三角形$ABC$の底辺$\overline{BC}$と平行です。 $x$の値を計算します。 解答を見る$x = 25$ 416 図では$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$となります。 $AB$の値を計算します。 解答を見る$AB = 18$ 417 図中、$x$の値を計算します。 解答を見る$x = 24$

October 11, 2026 読んだ
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角の二等分線 定理

三角形の角度の 角の二等分線 は、反対側の辺を他の 2 つの辺に比例する部分に分割します。 発見者 ザ 内部二等分定理 です 提案 VI.3 の 要素 の ユークリッド (紀元前300年頃)。だ 外二等分線 それはギリシャ語本文にはありません。それはスコットランド人によって第 VI 巻の「命題 A」として追加されました。 ロバート・シムソン、彼の版では 要素 1756 年に出版され、1 世紀以上にわたって英国で幾何学教育の基礎として機能しました。 2 つの二等分線は、 アポロニウスの円、によって研究されました ペルガのアポロニウス （紀元前3世紀）。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ロバート・シムソン。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。ジョバンニ・バッティスタのメモ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 アポロニウスは、2 つの固定点までの距離の比が一定である点が円を形成することを示しました。内側と外側の 角の二等分線 は、比率を分割する 2 つの点でセグメントを切り取ります。これらの 2 点は、その円の直径の端になります。 平行線は三角形の辺を均等に切り取ります。補助三角形を使用すると、面積による証明が可能になります。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 ユークリッドの証明は 角の二等分線 との類似を使用し、前のトピックのタレスの定理に戻ります。これは、原論 の結果がどのように相互にサポートされるかを示すもう 1 つの例です。

October 11, 2026 読んだ
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タレスの定理

平行線の束は、2 つの横断線を比例した部分に切断します。これは、計算を行わずにボードを均等な部分に分割するという考えに基づいています。 発見者 その結果はミレトスの物語 (紀元前6世紀) と呼ばれ、伝統により影による大ピラミッドの高さの測定と関連付けられています（章の冒頭でそれについての好奇心を参照）。私たちが知っている実証はユークリッドの原論の命題VI.2 (c. 300 BC) にあるもので、三角形の面積を使用しています。この結果に対する「テイルズの定理」という名前は、ブラジル、ポルトガル、フランス、スペイン、イタリアなどの国々の伝統です。ドイツ語と英語では、同じ名前が半円に内接する角度を指します。 ミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカ ジョルダーノ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 タレスが定理を証明したという記録はありません。情報筋によると、彼は高さと距離を測定するために比例を使用したということです。ユークリッドの証明は不可分分にも機能する必要があり、そのため第 V 巻のエウドクソスの比例理論に基づいています。 この名前は 19 世紀末にフランスの教科書に載ったようで、そこからブラジルの教育に伝わりました。半円の角度をタレスに帰したものはさらに古く、ディオゲネス・ラエルシオに由来しています。 ディオゲネス・ラエルシオ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 日常生活での応用 板を均等な部分に分割します。 大工は、「丸い」寸法 (例: 30 cm ～ 5 部分) が端から端まで収まるまで板の上で巻尺を傾け、6 ～ 6 cm までのマークを付けます。マークは幅を均等な部分に分割します。 縮尺。 地図、モデル、平面図はオリジナルの比率を維持します。 譜表とグリッド。 等間隔の平行線は、傾斜した線を等分にカットします。 遠近感。 設計者は、図面内で離れて移動する柱や窓の間隔を比例的に配置します。 出典: Tales (MacTutor) · Elements、命題 VI.2 · Elements、book V。

October 11, 2026 読んだ
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3 の章の演習 — 角度

演習と解決策 以下の計算機は、演習 29 から 33 について、度、分、秒を使用して計算を段階的に実行します。まずは解いて確認してみてください。 角度を入力し、操作を選択します。 60’‘が1’、60’が1°となる各ステップを示しています。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 29 次の測定を簡略化します: a) $30^{\circ}70^{\prime}$ · b) $45^{\circ}150^{\prime}$ · c) $65^{\circ}39^{\prime}123^{\prime\prime}$ · d) $110^{\circ}58^{\prime}300^{\prime\prime}$ · e) $30^{\circ}56^{\prime}240^{\prime\prime}$ 解答を見るa) $31^{\circ}10^{\prime}$ b) $47^{\circ}30^{\prime}$ c) $65^{\circ}41^{\prime}3^{\prime\prime}$ d) $111^{\circ}3^{\prime}$ e) $31^{\circ}$ 30 合計を求めます: a) $30^{\circ}40^{\prime} + 15^{\circ}35^{\prime}$ · b) $10^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime} + 15^{\circ}29^{\prime}20^{\prime\prime}$ 解答を見るa) $46^{\circ}15^{\prime}$ b) $26^{\circ}0^{\prime}5^{\prime\prime}$ 31 違いを確認します: a) $20^{\circ}50^{\prime}45^{\prime\prime} - 5^{\circ}45^{\prime}30^{\prime\prime}$ · b) $31^{\circ}40^{\prime} - 20^{\circ}45^{\prime}$ · c) $90^{\circ}15^{\prime}20^{\prime\prime} - 45^{\circ}30^{\prime}50^{\prime\prime}$ · d) $90^{\circ} - 50^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime}$ 解答を見るa) $15^{\circ}5^{\prime}15^{\prime\prime}$ ・ b) $10^{\circ}55^{\prime}$ ・ c) $44^{\circ}44^{\prime}30^{\prime\prime}$ ・ d) $39^{\circ}29^{\prime}15^{\prime\prime}$

October 11, 2026 読んだ
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直角、鋭角、鈍角 - 測定

完全な回転には 100 ではなく 360 度があるのはなぜですか?答えはメソポタミアの天文学にあります。 発見者 直線、鋭角、 鈍角という名前は、原論 (定義 I.10 から I.12) で定義されているユークリッドに由来しています。直線は、補足的に隣接するものと等しい角度です。鋭角で、直線よりも小さい。鈍角で最大のもの。この度という単位の測定には、後述の「なぜ 360 度?」という好奇心で説明されているように、バビロニア天文学という別の起源があります。 分と秒という言葉はクラウディウス プトレマイオス（西暦2世紀）のラテン語訳から来ています。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ユークリッドは角度を度で測定したことはありません。彼にとって、直角は自然な単位でした。角度は「2 つの直角に等しい」または「1 直角未満」であり、彼の 4 番目の公準はすべての直角が等しいと述べています。数値測定は、空の星や惑星の位置を特定する必要がある天文学者によってもたらされました。 プトレマイオスはアルマゲストで各次数を基底分数 60 に細分しました。ラテン語訳では、partes minutae primae と partes minutae secundae、つまり「最初の小さな部分」と「2 番目の小さな部分」になり、分と秒はここから来ています。 角度 21° 12’’ 22’’ は、プトレマイオスのギリシャ語、ラテン語、ポルトガル語で書かれています。分と秒は 60 進数の部分から来ています。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 フランス革命ではメートルとともに直角を100 等分する勾配が試みられました。このユニットは関数電卓の「GRAD」モードでは存続しますが、学位の有効期限が切れています。

October 11, 2026 読んだ
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一致と比較

角度をコピーして半分に分割することは、古典的な構造です。しかし、それを 3 等分するということは、2,000 年以上にわたって数学者たちを悩ませてきました。 発見者 2つの建物はこの中にあります 要素 の ユークリッド (紀元前 300 年頃): 提案 I.9 角を半分（二等分線）に分割し、 I.23 指定された角度を別の直線にコピーします。すでに 三等分 定規とコンパスを使って角度を計算し、あらゆる角度を 3 等分することが証明されました。 不可能 1837年にフランス人によって ピエール・ヴァンツェル、当時20歳ちょっと。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 三等分は、立方体の 2 倍、円の 2 乗と並ぶ 3 つの古典的なギリシャ問題の 1 つです。ギリシャ人は、特別な曲線やマーク付きの定規を使用してこの問題を解くことができましたが、アルキメデスはこのような解決策を示しましたが、マークのない定規とコンパスだけでは決して解決できませんでした。 アルキメデス、後の芸術的表現。ドメニコ・フェティ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 角の二等分線 は開口部を 2 つの等しい角度に分割します。長さが等しいと比較が容易になります。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 ヴァンツェルは問題を代数に変換しました。定規とコンパスを使った各構成は、次数 2 の方程式を解くのと等しく、角度 60° の三等分には、次数 3 の方程式が必要ですが、これはそれらに還元することはできません。アマチュアによって雑誌に寄せられた「三等分」は今でも掲載されています。それらにはすべて何らかの誤差があります。

October 11, 2026 読んだ
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角度:定義

同じ原点を持つ 2 つの光線は角度を形成します。そして、角度に関する第一定理には発見者の名前さえあります。 発見者 ロードス島のエウデモスの幾何学の歴史を引用したプロクロス (西暦5世紀) によると、 頂点の反対側の角度が次の角度であることを最初に認識したのはミレトスのタレス** (紀元前624年～546年頃) でした。等しい**;ユークリッドは、命題 I.15 において、それを「科学的に」証明したのです。 「二直線の傾き」としての角度の定義はユークリッドの原論にあります（定義I.8）。 ロードス島のエウデモスの作とされるアテナイの学堂の人物。不確かな身元確認。ラファエル・サンツィオ; Jic と FranksValli による複製の切り抜き · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカ ジョルダーノ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 結局、角度とは何でしょうか？プロクロスは、 古代人がそれが量 (測定されるもの) なのか、質 (形のようなもの) なのか、あるいは 2 つの線の間の関係なのかを議論したと記録しています。現代の定義ではこの議論は避けられています。角度とは、同じ原点の 2 本の光線によって形成される図形です。 タレスへの帰属は彼の何世紀も後に生きた著者によるものであり、タレス自身によるテキストはありません。たとえそうであっても、これは貴重である。ギリシャ人がすでにその中に、事実が正当化される必要がある幾何学の始まりを見ていたことを示している。 日常生活での応用 ハサミとペンチ 刃を開くとき、ハンドルは頂点と反対の角度で同じ角度で開きます。 時計の針。 3 h では直角を形成します。 6 h では浅い角度です。 ドアの開き方 ショックアブソーバー付きのドアは、壁に当たらないように一定の角度まで開きます。 視野: 携帯電話のカメラは、見える角度を通知します。 「広角」ではさらに広範囲をカバーします。 出典: テイルズ (MacTutor) · 要素、命題 I.15 · 要素、定義 I.8。

October 11, 2026 読んだ
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はじめに: 凸面と半平面

直線は平面を 2 つの側面に分割します。図形は「くぼみ」がない場合に凸になります。 2 つのアイデアは一致します。 発見者 凸型の図形を最初に注意深く定義したのはシラクサのアルキメデス (紀元前 287 ～ 212 頃) で、その著作球と円柱についての中で、彼は「同じ側に凹んだ」曲線を使って周囲を比較しています。直線による平面の分離は、1882 でモリッツ パッシュによって形式化されました。彼の公理は、三角形の一方の側に入る直線は、もう一方の側から出なければならないと述べています。 19 世紀末にヘルマン・ ミンコフスキー は凸性を数学の一分野としました。 アルキメデス、後の芸術的表現。ドメニコ・フェティ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン モーリッツ・パッシュ。グスタフ・バックオーフェン · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ヘルマン・ミンコフスキー。身元不明の写真家。ラウムとツァイトの複製 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 アルキメデスは、円に内接する多角形の周囲がそれ自体よりも小さく、外接された多角形の周囲がより大きいことを証明するという具体的な問題のために凸面性を必要としました。これで、$3\tfrac{10}{71}$ と $3\tfrac{1}{7}$ の間の π の値を囲みました。 パッシュの公理は別の問題を解決します。ユークリッドは、直線が平面を 2 つの側面に分けることを決して証明しませんでした。彼はただ絵を描いて見ただけだった。パッシュ以降、「直線の同じ側にある」ということには、角度の内側を定義するために使用される、半平面という正確な定義が与えられるようになりました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 日常生活での応用 レンズ。 虫眼鏡や遠視用メガネなどの凸レンズは、光を集中させます。凹型のものはそれを広げます。 爪の弾性。 いくつかの爪の周囲にある緩い弾性バンドは、それらを含む最小の凸形、つまりコンピュータ グラフィックスで使用される「凸包」を形成します。 通りの両側。 この通りは、近隣を 2 つの半分の平面に分割します。一方の側は偶数、もう一方の側は奇数です。 電子ゲーム 凸形状を使用すると衝突の検出がはるかに速くなります。そのため、キャラクターが目に見えない凸型の「ボックス」で囲まれています。 出典: アルキメデス (MacTutor) · パッシュ (MacTutor) · ミンコフスキー (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ